Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
02.10.2013
18. Tag – Integrieren
2. Übung: Kurvendiskussion II – Aufgaben
2. Übung: Kurvendiskussion II – Aufgaben
1.) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte der folgenden Funktionen. Skizzieren Sie die Graphen.
a) f(x) = 2x 3 + 4 b) f(x) = 5x 3 − 3x + 1
c) f(x) = −7x 3 − 8x 2 d) f(x) = −4x 3 + 5x + 2
e) f(x) = 5 2 x3 − 4x 2 + x − 1 2
f) f(x) = − 1 3 x3 + 2x
g) f(x) = 7 4 x3 − 2x 2 + 2 h) f(x) = 5 6 x3 − 1 2 x2 + 5x + 2
2.) Bestimmen Sie Extremal- und Wendestellen der Funktionen
a) f(x) = x2 − 4
(x − 1) 2 b) f(x) = x 3 · e −x2
3.) Diskutieren Sie die folgenden Funktionen:
a) f(x) = 8x3
(3x − 2) 2 b) f(x) = x 2 + sin x in x ∈ [0,3π] c) f(x) = ln∣ ∣x 2 − 4 ∣ ∣
Lösungen zu Kurvendiskussion II
1.) a) f(x) = 2x 3 + 4 ⇒ f ′ (x) = 6x 2 und f ′′ (x) = 12x
• Stationäre Stellen
f ′ !
(x) = 0 ↔ 6x 2 = 0 ⇒ stationäre Stelle bei x 1/2 = 0
• Extrempunkte
f ′′ (0) = 0
• Wendepunkte
— keine Aussage, ob hier ein Extrempunkt liegt.
f ′′ !
(x) = 0 ⇒ x = 0
Wendepunkt bei (0, 4); wegen f ′′′ (x) = 12 und somit f ′′′ (0) = 12 ≠ 0 .
b) f(x) = 5x 3 − 3x + 1 ⇒ f ′ (x) = 15x 2 − 3 und f ′′ (x) = 30x
• Stationäre Stellen
√
f ′ !
(x) = 0 ↔ 15x 2 − 3 = 0 ⇒ x 1/2 = ±
Wir haben die stationären Stellen x 1 =
1
5
√
1
5 ∧ x 2 = −
• Extrempunkte
(√ ) √
(√ )
f ′′ 1
1
5
= 30
5 > 0 Also ist bei 1
5 ; 1,055 . . . ein lokales Minimum.
√ ) √
√ )
f
(−
′′ 1
1
5
= −30
5
(−
< 0 Also ist bei 1
5 ; 1,894 . . . ein lokales Maximum.
• Wendepunkte
f ′′ !
(x) = 0 ↔ 30x = 0 ⇒ x = 0
Wendepunkt bei (0, 1); da (bei einer stetigen Funktion) zwischen Maximum und Minimum ein Wendepunkt
sein muss.
c) f(x) = 7x 3 − 8x 2 ⇒ f ′ (x) = 21x 2 − 16x und f ′′ (x) = 42x − 16
√
1
5
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny