Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
16.09.2013
6. Tag – Wurzeln
Lösungen zu Wurzeln I
i)
1
3 x2 − x − 6 = 0 ⇒ x 2 − 3x − 18 = 0 ⇒ x 2 − 2 · x · 3
⇒
2 + ( 3
2
(
x − 3 ) 2
− 9 2 4 − 72
(x
4 = 0 ⇒ − 3 ) 2
= 81
2 4
) 2 ( ) 3 2
− − 18 = 0
2
⇒ x − 3 2 = ±9 2
⇒ x = 3 2 ± 9 2
⇒
x 1 = 6 ∧ x 2 = −3
j) (x − 1)(x + 2) = 3x + 6 ⇒ x 2 + x − 2 = 3x + 6 ⇒ x 2 − 2x − 8 = 0 ⇒ (x − 1) 2 − 9 = 0
⇒ x − 1 = ±3 ⇒ x = 1 ± 3 ⇒ x 1 = 4 ∧ x 2 = −2
4.) a)
b)
1
1 − x − 1
1 + x
= 2 ist definiert für x ∈ R \{−1,1} :
1
1 − x − 1
(
1 + x = 2 ⇔ 1(1 + x) − 1(1 − x) = 2(1 − x)(1 + x) ⇔ 2x = 2 1 2 − x 2)
⇔ x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x 1/2 = − 1 √ √
1 5
2 ± 4 + 1 = −1 2 ± 2 = −1 ± √ 5
2
1
1 − x − 1
1 + x = 2 ist definiert für x ∈ R \{−1,1} :
1 − x2 1
1 − x − 1
1 + x = 2
1 − x 2 ⇔ 1(1 + x) − 1(1 − x) = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1
c)
x 2 − x − 2
x + 1
= 1 ist definiert für x ∈ R \{−1} :
x 2 − x − 2
x + 1
= 1 ⇔ x 2 − x − 2 = x + 1 ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0
⇔ x 1/2 = 1 ± √ 1 + 3 ⇔ x 1 = 3 ∨ x 2 = −1
d)
x 2 − 1
= 1 ist definiert für x ∈ R \{−1, − 2} :
(x + 1)(x + 2)
x 2 − 1
(x + 1)(x + 2) = 1 ⇔ x2 − 1 = x 2 + 3x + 2 ⇔ −3x = 3 ⇔ x = −1
e)
a 2 − 1
x − a + a2 + 1
x + a = a +
a3
x 2 ist definiert für x ≠ a, x ≠ −a :
− a2 a 2 − 1
x − a + a2 + 1
x + a = a +
a3
x 2 − a 2 ⇔ (a 2 − 1)(x + a) + (a 2 + 1)(x − a) = a(x 2 − a 2 ) + a 3
(
) (
)
⇔ a 2 x + a 3 − x − a + a 2 x − a 3 + x − a = ax 2
⇔ 2a 2 x − 2a = ax 2 ⇔ 2ax − 2 = x 2 ⇔ x 2 − 2ax + 2 = 0
√
⇔ x 1/2 = a ± a 2 − 2
Mathematik Vorkurs P2
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✝44 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny