Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
02.10.2013
18. Tag – Integrieren
Lösungen zu Kurvendiskussion II
b) f(x) = x 3 · e −x2
)
f ′ (x) = 3x 2 · e −x2 + x 3 · e −x2 (−2x) =
(3x 2 − 2x 4 e −x2
)
)
(
)
f ′′ (x) =
(6x − 8x 3 e −x2 +
(3x 2 − 2x 4 e −x2 (−2x) = 4x 5 − 14x 3 + 6x e −x2
(
) (
)
f ′′′ (x) = 20x 4 − 42x 2 + 6 e −x2 + 4x 5 − 14x 3 + 6x e −x2 (−2x)
(
)
= −8x 6 + 48x 4 − 54x 2 + 6 e −x2
• Stationäre Stellen
f ′ !
)
(x) = 0 ↔ x 2 ·
(3 − 2x 2
√
3
= 0 ⇒ x = 0 ∧ x = ±
√
Wir haben die stationären Stellen x 1 = 0 und x 2/3 = ±
• Extrempunkte f ′′ (0) = 0 ⇒ keine Aussage über Extrempunkt und f (0) = 0
(
√ )
( √ ) 3 3
2)
f
(+
′′ ≈ −1,64 < 0 und f + = ≈ 0,41
3
2
(√ )
3
Also ist bei
2 ; 0,41 ein lokales Maximum.
√ )
( √ )
f
(−
′′ =≈ 1,64 > 0 und f − ≈ −0,41
3
2
Also ist bei
• Wendepunkte
f ′′ (x)
3
2
3
2
e 3 2
( √ )
3
−
2 ; −0,41 ein lokales Minimum.
!
= 0 ↔ 4x ·
3
2 .
2 .
(
)
x 4 − 7 2 x2 + 3 2
= 0 ⇒ x 1 = 0 und mit x 2 = z gilt z 2 − 7 2 z + 3 2 = 0 ⇒
z 1 = 3 und z 2 = 1 2 , also x 4/5 = ± √ 3 und x 6/7 = ± 1 √
2
Bei x 4/5 = ± √ 3 müssen Wendepunkte sein, da zwischen den Extrempunkten und den Asymptoten
lim f(x) = 0 jeweils ein Wendepunkt sein muss.
x→±∞
Für x 1 und x 6/7 gilt, entweder sind alle drei Wendepunkte, oder keiner – wegen der waagerechten Tangente
in x 1 = 0 sind die Wendepunkte durch die nötigen Krümmungswechsel klar.
( ) ( ) (
Also liegen Wendepunkte bei (0, 0), √2 1
√3; ) (
; 0,21 , − √ 1
2
; −0,21 , 0,26 und − √ )
3; −0,26 .
• Skizze
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝151 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny