Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
08.10.2013
21. Tag – Gauß-Algorithmus
Lösungen zu Vektorrechnung in 3D III
Lösungen zu Vektorrechnung in 3D III
1.) Wir lösen das lineare Gleichungssystem v = λa + µb + νc für die drei Unbekannten λ, µ und ν ∈ R . Mit den
gegebenen Vektoren lautet dies: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−2 0 3 −4
⎢
⎣ 3⎥
⎦ = λ ⎢
⎣−1
⎥
⎦ + µ ⎢
⎣1
⎥
⎦ + ν ⎢
⎣ 2⎥
⎦
1 0 0 1
• Die Gleichung für die 3. Komponente besagt: 1 = ν, d.h. es gilt ν = 1
• In der 1. Komponente erhalten wir die Gleichung −2 = 3µ − 4 ⇔ µ = 2 3
• Die 2. Komponente ergibt 3 = −λ + 2 2+6−9
3
+ 2, man erhält also λ =
3
= − 1 3
Die Darstellung von v als Linearkombination der Vektoren a, b, c ergibt sich somit zu:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−2
0
v = ⎢
⎣ 3⎥
⎦ = −1 ⎢
3 ⎣−1
⎥
⎦ + 2 3 −4
⎢
3 ⎣1
⎥
⎦ + ⎢
⎣ 2⎥
⎦ .
1
0 0 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
x 1 2
1 + 2t
2.) Die Gerade durch A und B ist g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣−2
⎥
⎦ + t · ⎢
⎣4
⎥
⎦ mit t ∈ R, d.h. es gilt: p = ⎢
g ⎣−2 + 4t⎥
⎦ für den
z 1 2
1 + 2t
allgemeinen Geradenpunkt P g .
Für die Abstände von C und D von G soll gelten:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
1 + 2t 2
⎢
⎣−2 + 4t⎥
⎦ − 1 + 2t 8
⎢
⎣7
⎥
⎦
=
⎢
⎣−2 + 4t⎥
⎦ − 2t − 1
⎢
⎣1
⎥
2t − 7
⎦
⇔
⎢
⎣4t − 9⎥
⎦
=
⎢
⎣4t − 3⎥
⎦
∣ 1 + 2t 0
∣ ∣ 1 + 2t 2
∣ ∣ 2t + 1
∣ ∣ 2t − 1
∣
∣
⇔ ∣(4t 2 − 4t + 1) + (16t 2 − 72t + 81) + (4t 2 ∣
+ 4t + 1) ∣ = ∣(4t 2 − 28t + 49) + (16t 2 − 24t + 9) + (4t 2 − 4t + 1) ∣
∣
⇔ ∣24t 2 ∣
− 72t + 83∣ = ∣24t 2 − 56t + 59∣ ⇔ 35 24t 2 − 72t + 83 = 24t 2 − 56t + 59 ⇔ t = 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2
1 2 1 3 4
und damit P = ⎢
⎣−2
⎥
⎦ + 3 2 ·
⎢
⎣4
⎥
⎦ = ⎢
⎣−2
⎥
⎦ + ⎢
⎣6
⎥
⎦ = ⎢
⎣4
⎥
⎦ .
1 2 1 3 4
35 Beide Parabeln haben keine Nullstellen (zeigen!), daher brauchen wir den 2. Fall (. . . = − . . .) der Fallunterscheidung für die Betragsgleichung
nicht durchführen.
Mathematik Vorkurs P2
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✝178 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny