Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
24.09.2013
12. Tag – Trigonometrische Funktionen
12. Tag – Trigonometrische Funktionen
1. Übung: Trigonometrische Funktionen I – Aufgaben
1.) a) Geben Sie folgende Winkel im Bogenmaß an: 20 ◦ ; 34 ◦ ; 97 ◦ ; 65 ◦ ; 108 ◦ ; 311,5 ◦
π
b) Geben Sie folgende Winkel im Gradmaß an:
2 ; π
5 ; 3
8 π ; 3
10 π ; 2π
37 ; π
12 ; 9
4 π ; 1
√
3
c) Berechnen Sie tan(60 ◦ ) und cot(60 ◦ ) nur mithilfe von sin(60 ◦ ) =
2
d) Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 9; b = 3,5; c = 7. Berechnen Sie die Winkel.
e) Vereinfachen Sie mit dem Additionstheorem: sin ( α + π ) (
4 + sin α −
π
4
f) Zeigen Sie mit dem Additionstheorem für x ∈ R : cos x · sin x = 1 2 sin(2x)
g) Zeigen Sie mit dem Additionstheorem für beliebige Winkel α ∈ R : cos(2α) = 2 cos 2 (α) − 1
h) Welche x erfüllen die Gleichung: cos(x) = cos(2x) ? (Tipp: Verwenden Sie g) )
2.) Erstellen Sie eine sinnvolle Wertetabelle für Sinus, Cosinus und Tangens!
3.) Finden Sie alle Lösungen der Gleichungen:
a) cos x = 1 2
b) sin x = −
√
2
2
c) sin x · cos x = 0
d) sin 2x = 1 e) (sin x) 2 = 1 4
f) cot x = − √ 3
g) cos ( 3x − π 3
)
= −
1
2
h) 4 sin 2 x + 3 cos x = 9 2
i) cos 2x + 1 = cot x
Lösungen zu Trigonometrische Funktionen I
1.) a) 20 ◦ π ·
180 ◦ = π 9
65 ◦ ·
34 ◦ ·
π
180 ◦ = 13
36 π 108◦ ·
π
180 ◦ = 17
90 π 97◦ ·
π
180 ◦ = 3 5 π 311,5◦ ·
)
π
180 ◦ = 97
180 π
π
180 ◦ = 623
360 π
b)
π
2 · 180◦
π = π
90◦ 5 · 180◦
π = 3
36◦ 8 π · 180◦
π = 67,5◦
3
10 π · 180◦
π = 2π
54◦ 37 · 180◦
π ≈ π
9,73◦ 12 · 180◦
π
= 15◦
9
4 π · 180◦
π = 405◦ 1 · 180◦
π ≈ 57,3◦
c) Es gilt: tan(60 ◦ ) = sin(60◦ )
cos(60 ◦ ) = sin(60 ◦ )
√
=
1 − sin 2 (60 ◦ )
√
3
√ 2
1 − 3 4
=
√
3
2
1
2
= √ 3 =⇒ tan(60 ◦ ) = √ 3
Aus cot(60 ◦ ) =
1
tan(60 ◦ ) ergibt sich: cot(60◦ ) = 1 √
3
d) Es gilt mit dem Cosinus-Satz: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc · cos(α), also:
cos(α) = a2 − b 2 − c 2
−2bc
Mathematik Vorkurs P2
=
81 − 12,25 − 49
−49
= − 19,75 ≈ −0,403 ⇒ α ≈ 113,77 ◦
49
✞ ☎
✝93 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny