Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

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WiSe 2013/14
01.10.2013
17. Tag – Kurvendiskussion
Lösungen zu Kurvendiskussion I
Stationäre Stellen: f ′ !
(x) = 0 ⇔ 6x 2 + 2 = 0 ⇒ x 2 = − 1 3
Es gibt keine stationären Stellen und damit auch keine Extrempunkte.
Wendepunkte: f ′′ !
(x) = 0 ⇔ 12x = 0 ⇒ x = 0
Wendepunkt bei (0, − 6); wegen f ′′′ (x) = 12 und somit f ′′′ (0) = 12 ≠ 0 .
Skizze:
.
y
12
10
8
6
4
2
−1
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−14
1 2 x
•WP
f(x) =2x 3 + 2x − 6
c) f(x) = 1 2 x3 − 2x 2 + 3x − 4 =⇒ f ′ (x) = 3 2 x2 − 4x + 3 und f ′′ (x) = 3x − 4
√
Stationäre Stellen: f ′ !
(x) = 0 ⇔ 3 2 x2 −4x+3 = 0 ⇒ x 2 − 8 3 x+2 = 0 ⇒ x 1/2 = 4 3 ± 16
9 − 2
Es gibt keine stationären Stellen und damit auch keine Extrempunkte.
Wendepunkte:
Wendepunkt bei
Skizze:
.
!
(
f ′′ (x) = 0
)
⇔ 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 3
4
3 , − 64
27
; wegen f ′′′ (x) = 3 und somit f ′′′ (0) = 3 ≠ 0 .
y
12
10
8
6
4
2
−1
−2
−4
−6
−8
−10
1 2 3 4
WP
f(x) =x 3 − 2x 2 + 3x − 4
x
d) f(x) = −2x 3 + 3x + 5 =⇒ f ′ (x) = −6x 2 + 3 und f ′′ (x) = −12x
Stationäre Stellen: f ′ !
(x) = 0 ⇔ −6x 2 + 3 = 0 ⇒ x 2 = 1 2
Wir haben die stationären Stellen x 1/2 = ± √ 1
2
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny