Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
27.09.2013
15. Tag – Folgen und Grenzwerte
Lösungen zu Folgen und Grenzwerte I
Lösungen zu Folgen und Grenzwerte I
1.) a) Bei der Berechnung des Grenzwertes eines Quotienten zweier Polynomausdrücke teilt man durch die höchste
gemeinsame Potenz 29 und dann zeigt sich, wogegen die einzelnen Summanden in Zähler und Nenner streben:
a n = n − 3
Kürzen mit der höchsten gemeinsamen Potenz n1
n + 4 ∣
= 1 − 3 n
1 + 4 n
Die Terme 3 ∣
n und 4 gehen gegen Null für n gegen Unendlich.
n
Die konstanten Terme 1 bleiben so.
=⇒ a n
n → ∞
−−−→ 1 1 = 1
b) lim a 2n 2 − 5n + 3
n = lim
n → ∞ n → ∞ 3n 3 + 11
2 − 5 n
= lim
+ 3 n 2
n → ∞ 3n + 11
n 2
Kürzen mit der höchsten gemeinsamen Potenz n2
∣
∣ ∣∣∣∣ Alle Terme mit n-Potenzen im Nenner gehen gegen Null.
D.h. der Term 3n, der nun im Nenner steht, wird bestimmend.
= 0
Andere Schreibweise (Kürzen mit der höchsten auftretenden Potenz n 3 ):
2n 2 2
− 5n + 3
n
lim
n → ∞ 3n 3 = lim
− 5 + 3 n 2 n 3
+ 11 n → ∞ 3 + 11 = 0
n 3
c) Es gilt:
( n + 1
2
) 2
− n2
4 = n2 + 2n + 1
− n2
4 4 = 2n + 1 = n 4 2 + 1 4
( n
lim a n = lim
n → ∞ n → ∞ 2 + 1 )
= ∞
4
und damit
Die Folge ist somit (bestimmt) divergent.
2.)
∣
3.) Zu zeigen ist: Für jedes ε > 0 gibt es ein n ∈ N mit ∣a n − 1 3∣ < ε
∣
Berechne ∣a n − 1 n
3∣ = ∣
3n−2 − 1 3∣ = ∣ 3n−(3n−2)
2
3·(3n−2)
∣ = ∣
3·(3n−2)
∣ = 2
Für ein beliebiges ε > 0 ergibt sich dann:
2
3 · (3n − 2)
!
< ε ⇐⇒ 2
3ε
3·(3n−2) .
< 3n − 2 ⇐⇒
2
3ε + 2 < 3n ⇐⇒ n > 2 3 + 2
9ε ,
∣ d.h. mit n (ε) ≥ 2 3 + 2
9ε gilt ∣∣an
− 1 n → ∞
3∣ < ε und somit ist bewiesen, dass für die Folge a n −−−→ 1 3 gilt.
4.) a) Bei der Berechnung des Grenzwertes eines Quotienten zweier Polynomausdrücke teilt man durch die höchste
29 Es gibt mehrere Verfahren: Man kann z.B. auch durch die höchste auftretende Potenz teilen.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny