Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
09.09.2013
1. Tag – Elementares Rechnen
Lösungen zu Elementares Rechnen I
5.) a)
b)
c)
d)
e)
6∑
2k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42
k=1
5∑
k 2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
k=0
7∑
2 k = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 252
k=2
5∑
k=1
Oder:
6∑
k=3
k
k + 2 = 1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6 + 5 7 = 1 3 + 1 2 + 3 5 + 2 3 + 5 7 = 1 + 1 2 + 21
35 + 25
35 = 105
70 + 92
70 = 197
70
k − 1
k
2
5∑
k=1
= 2 3
2
( ) k
= 1 k + 2 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6 + 5 7 = 70
210 + 105
210 + 126
210 + 140
210 + 150
210 = 591
210 = 197
70
+ 3 4
2
+ 4 5
2
+ 5 6
2
= 1 + 1 2 + 3 + 1 + 3 5 = 5 + 5 + 6
10
= 4 3 + 3 2 + 8 5 + 5 3 = 3 2 + 9 3 + 8 5
= 61
10 = 6,1
f) Vom jungen Carl Friedrich Gauß ist die Anekdote überliefert, dass er seinen Dorfschullehrer – der die Gruppe
der Kleinen für geraume Zeit beschäftigen wollte, indem er sie die Summe der Zahlen von eins bis hundert
ausrechnen ließ – sehr überraschte. Nach wenigen Augenblicken hatte Carl Friedrich die richtige Lösung parat.
Ihm muss aufgefallen sein, dass man die Zahlen sinnvoll paaren kann: Die erste mit der letzten, die zweite mit
der vorletzten – immer ergibt sich dieselbe Summe, nämlich 101 = 100 + 1 = 99 + 2 = . . . (allgemein n + 1).
Da es 50 (allgemein n/2) solcher Paare gibt, muss die Summe 101 · 50 sein. Das ganze klappt natürlich auch für
ungerade n (Warum??).
∑1000
Also gilt k =
k=1
1000 · (1000 + 1)
2
= 500500 und allgemein
n∑
k =
k=1
n · (n + 1)
2
für n ∈ N .
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny