Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
10.09.2013
2. Tag – Mengenlehre & Aussagenlogik
Lösungen zu Mengenlehre & Aussagenlogik I
Lösungen zu Mengenlehre & Aussagenlogik I
1.) a) A = {x ∈ R | 3 ≤ x < 4} = [3; 4)
b) B = {x ∈ R | 5 ≤ x < 19} ∩ {x ∈ R | 13 ≤ x < 27} = [5; 19) ∩ [13; 27) = [13; 19)
c) C = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 44} = [2; 44]
d) D = R \{x ∈ R | −33 < x < ∞} = R \ (−33; ∞) = (−∞; ∞) \ (−33; ∞) = (−∞; −33]
∣ }
2.) a) 11 /∈ {1,2,3} b) 1 ∈ {1,2,3} c) 25 ∈
{n 2 ∣∣ n ∈ N
d) 3 ∈ N e) 2 ∈ { x ∈ N|x − 2 = 0 } f) 0 /∈ ∅
g) {0} /∈ N h) {1} /∈ {1,2} i) {1,2} /∈ { ∅, {1} , {2} , {2,3} }
j) ∅ ∈ Menge der Teilmengen von {mein Auto, mein Fahrrad}
3.) a) Wir zeichnen die Mengen M 1 ; M 2 ; M 3 ; M 4 ; M 5 ; M 6 auf dem Zahlenstrahl:
(
]
0 5 M 1 = (5; ∞) 10
( ]
R
-5 M 2 = (−∞; 2] 0 5
[ )
R
0 5 M 3 = (0; 10] 10
[ ]
R
0 5 M 4 = [0; 10) 10
( )
R
-5 0 M 5 = [−5; 5] 5
R
-5 0 M 6 = (−4; 6) 5
R
b) M 7 : alle geraden Zahlen ⇒ M 7 = {x ∈ Z | x = 2k, k ∈ Z} 3
M 8 : alle ungeraden Zahlen ⇒ M 8 = {x ∈ Z | x = 2k − 1, k ∈ Z} = Z \M 7
M 9 : alle Brüche ⇒ M 9 = Q
c) M 10 = M 1 ∩ M 3 = (5; ∞] ∩ [0; 10) = (5; 10]
M 11 = (M 2 ∩ M 1 ) ∪ M 6 = ∅ ∪ M 6 = M 6
M 12 = M 2 ∪ M 6 = {x ∈ R | x ≤ 2} ∪ {x ∈ R | −4 ≤ x ≤ 6} = {x ∈ R | x < 6} = (−∞; 6)
M 13 = (M 4 ∪ M 5 ) ∩ M 7 = [−5; 10) ∩ M 7 = {−4, − 2, 0, 2, 4, 6, 8}
M 14 = M 5 ∪ (M 7 ∩ M 12 ) = M 5 ∪ {x ∈ Z | x ist gerade, x ≤ 4} = M 5 ∪ {. . . , − 4, − 2,0,2,4}
M 15 = M 9 ∩ M 2 = {x ∈ Q | x ≤ 2}
M 16 = (M 5 ∩ M 6 ) ∪ (M 4 ∩ M 3 ) ∪ (M 10 ∩ M 2 ) ∪ (M 13 ∩ M 14 )
= (−4; 5] ∪ (0; 10) ∪∅ ∪ {−4, − 2,0,2,4}
= (−4; 10) ∪ {−4, − 2,0,2,4} = [−4; 10)
4.) a) M 1 = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} = {x ∈ Z | −1 ≤ x ≤ 4} = {x ∈ Z | −2 < x < 5}
b) M 2 = {−3, − 2, − 1, 1, 2, 3} = {x ∈ Z | −3 ≤ x ≤ −1 ∨ 1 ≤ x ≤ 3} = { x ∈ Z ∣ ∣ |x| ≤ 3 } \{0}
= { x ∈ Z \{0} ∣ ∣ |x| ≤ 3 }
3 Die Bezeichnungen gerade und ungerade sind nur bei ganzen Zahlen sinnvoll, daher die Grundmenge Z .
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny