Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
19.09.2013
9. Tag – Allgemeiner Funktionsbegriff
Lösungen zu Funktionsbegriff I
g(x) = x 2 − 1 ist auf ganz R definiert, aber nur auf (0,∞) ( bzw. (−∞,0) ) injektiv:
⎧
y = x 2 − 1 ⇒ x = ± √ ⎪⎨
y + 1 =⇒
⎪⎩
fI −1 (x) = √ (
x + 1 und D
f −1
II
(x) = − √ x + 1 und D
f −1
I
(
)
= [−1,∞)
)
= [−1,∞)
f −1
II
3.) Da alle Funktion auf ganz R definiert sind, können alle 36 Verkettungen gebildet werden!
f 1 (x) ◦ f 1 (x) = 3 (3x − 4) − 4 = 9x − 12 − 4 = 9x − 16
( )
f 1 (x) ◦ f 2 (x) = 3 x 2 − 1 − 4 = 3x 2 − 7
( ) 1
f 1 (x) ◦ f 3 (x) = 3
2 x + 1 − 4 = 3 2 x − 1
( ∣∣∣4x )
f 1 (x) ◦ f 4 (x) = 3 2 ∣
+ x∣
− 4 = 3 ∣4x 2 + x∣ − 4
(
)
f 1 (x) ◦ f 5 (x) = 3 7x 2 + 6x + 5 − 4 = 21x 2 + 18x + 11
( ∣∣∣x )
f 1 (x) ◦ f 6 (x) = 3 2 ∣
− 3∣
− 4 = 3 ∣x 2 − 3∣ − 4
f 2 (x) ◦ f 1 (x) = (3x − 4) 2 − 1 =
f 2 (x) ◦ f 2 (x) =
(
)
9x 2 − 24x + 16 − 1 = 9x 2 − 24x + 15
( ) 2 (
)
x 2 − 1 − 1 = x 4 − 2x 2 + 1 − 1 = x 4 − 2x 2
( ) 1 2 ( )
1
f 2 (x) ◦ f 3 (x) =
2 x + 1 − 1 =
4 x2 + x + 1 − 1 = 1 4 x2 + x
( ∣∣∣4x 2
f 2 (x) ◦ f 4 (x) = 2 ∣
+ x∣) − 1 =
f 2 (x) ◦ f 5 (x) =
(
16x 4 + 8x 3 + x 2) − 1 = 16x 4 + 8x 3 + x 2 − 1
(
) 2 (
)
7x 2 + 6x + 5 − 1 = 49x 4 + 36x 2 + 25 + 84x 3 + 70x 2 + 60x − 1
= 49x 4 + 84x 3 + 106x 2 + 60x + 24
( ∣∣∣x 2
f 2 (x) ◦ f 6 (x) = 2 ∣
− 3∣) − 1 =
(
)
x 4 − 6x 2 + 9 − 1 = x 4 − 6x 2 + 8
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝66 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny