Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
12.09.2013
4. Tag – Lineare (Un-)Gleichungen
Lösungen zu Lineare Un-/Gleichungen I
5.) a) 2x − 5 < 7 ⇔ 2x < 12 ⇔ x < 6 ⇒ x ∈ (−∞, 6)
b) −3x − 4 ≥ 1 ⇔ −3x ≥ 9 ⇔ x ≤ − 3 (
⇒ x ∈ −∞, − 3 ]
2
2
2
2
(
1
c) x − 4 )
≥ x − 1 ⇔ 1 2 3
2 x − 2 3 ≥ x − 1 ⇔ −1 2 x ≥ −1 ⇔ x ≤ 2 3
3
(
⇒ x ∈ −∞, 2 ]
3
d) |x − 22| < 5 ⇔ −5 < x − 22 < 5 ⇔ 17 < x < 27 ⇒ x ∈ (17, 27)
e)
∣ 11 − x 2∣ ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 11 − x 2 ≤ 5 ⇔ −16 ≤ −x ≤ −6 ⇔ 32 ≥ x ≥ 12
2
⇒ x ∈ [12, 32]
f) 2x = 2 |x| − 2 führt zur Fallunterscheidung
g)
h)
i)
• x ≥ 0 : 2x = 2x − 2 Es gibt keine Lösung.
• x < 0 : 2x = −2x − 2 ⇔ 4x = −2 ⇔ x = − 1 2
2
2 − x
• x > 2 :
• x < 2 :
ist definiert für x ∈ R \{2} ; wir unterscheiden die Fälle:
2
2 − x
2
2 − x
Damit haben wir x ∈
x − 4
5
2
2
x − 1 2
12
≥ 7 ⇔ 2 ≤ 14 − 7x ⇔ 7x ≤ 12 ⇔ x ≤
7
12
≥ 7 ⇔ 2 ≥ 14 − 7x ⇔ 7x ≥ 12 ⇔ x ≥
[ 12
7 ,2 )
.
> 3 ⇔ x − 4 > 15 ⇔ x > 19 ⇒ x ∈ [19; ∞)
= 1 2
⇔
2
x − 1 2
2
= 2 ⇔ 2 x − 1 2 = 4 ⇔ 2 x = 9 2
j) ax < x + a ⇔ x(a − 1) < a führt zur Fallunterscheidung:
• a > 1 : x < a +0
= a − 1 + 1 = a − 1
a − 1 a − 1 a − 1 + 1
a − 1 = 1 + 1
a − 1
• a < 1 : x > a
a − 1
+0
= a − 1 + 1 = a − 1
a − 1 a − 1 + 1
a − 1
7
⇔ x 2 = 2 9
⇔ x = 4 9
(−1)(−a + 1)
= 1 + 1 + 1
= a − 1 = 1 − 1
1 − a
• a = 1 : 0 < 1 ⇔ x ∈ R . In der Ausgangsgleichung stimmt’s auch: 1x < x + 1 .
x
k)
a + 1 − 1
a − 1 > 1
a 2 − 1 ist definiert für a ∈ R \{−1, 1} . Multiplikation mit a2 − 1 ergibt:
• |a| < 1 : x(a − 1) − (a + 1) < 1 ⇔ x(a − 1) < a + 2 ⇔ x > a + 2
a − 1
• |a| > 1 : x(a − 1) − (a + 1) > 1 ⇔ x(a − 1) > a + 2 und nun für
◦ a > 1 : x(a − 1) > a + 2 ⇔ x > a + 2
a − 1
◦ a < −1 : x(a − 1) > a + 2 ⇔ x < a + 2
a − 1
Wir erhalten somit für a > −1, a ≠ 1 gilt x > a + 2
a − 1
und für a < −1 gilt x <
a + 2
a − 1 .
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny