Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
27.09.2013
15. Tag – Folgen und Grenzwerte
Lösungen zu Folgen und Grenzwerte I
gemeinsame Potenz 30 und dann zeigt sich, wogegen die einzelnen Summanden in Zähler und Nenner streben:
3n 3 − 7n + 5
lim
n → ∞ 5n 2 + 6n + 1 = lim 3n − 7 n + ∣ 5 ∣∣∣∣ Der Term 3n bestimmt nun das Verhalten.
n 2
n → ∞ 5 + 6 n + 1 Alle Terme mit n oder n 2 im Nenner streben gegen
n 2 Null.
= ∞
3n 3 + 2n − 1
b) lim
n → ∞ 5n 3 − 4n − 2 = lim 3 + 2 − 1 n 2 n 3
n → ∞ 5 − 4 − 2 = 3 5
n 2 n 3
3n 3 − 5n − 3
c) lim
n → ∞ 5n 4 − 3n + 3 =
lim
n → ∞
3 − 5 n 2 − 3 n 3
5n − 3 n 2 + 3 n 3 = 0
n
d) Es gilt zwar lim
3 +2
n → ∞ n 3 −n = 1, aber (−1)n nimmt abwechselnd die Werte −1 und 1 an.
Die Folge a n konvergiert also nicht, sondern hat lediglich zwei Häufungspunkte bei ±1.
e) lim
n → ∞
n 2 1 + n 3
f) lim
n → ∞
n n 2 − 4 9
n 2
n − 1 − n =
lim
n → ∞
(
= lim
n → ∞ n ( 12 + n 3
n 2 n · (n − 1)
−
n − 1 (n − 1)
) )
−( 2n − 9
4
)
n 2 − (n 2 − n) n
= lim
= lim
n → ∞ n − 1 n → ∞ n − 1 = 1
= lim n 1 2 + n 3 − n 2 + 4 9 = lim n 18 9 + 6n
18 − 18n 36 + 18
8
n → ∞ n → ∞
= lim n 18n 9n + 6n2
18n − 18n 36 + 18n 8n
= lim n 9n+6n2 −36+8n
18n = lim n 6n2 +17n−36
18n
n → ∞ n → ∞ n → ∞
)
(
= lim n n3 + 17
18 − n
2
n → ∞
Für den Exponent gilt n 3 + 17
18 − 2 n > 1 für n ≥ 3 und somit auch a n ≥ n 1 für n ≥ 3 und wegen lim
n → ∞ n1 = ∞
schließlich: 31 a n = n 1 2 + n 3
2n
√
g) lim √ = lim 2 ·
n → ∞ n(n + 1) n → ∞
n 2
n(n+1) =
n 2 n − 4 9
= n n 3 + 17
18 − 2 n
n → ∞
−−−→ ∞
lim 2 · √ √
n
n → ∞ n+1 = lim 2 · 1 − 1
n → ∞ n+1 = 2
3n + 1
h) lim
n → ∞ n 2 − 1 cot 1 n =
Es gelten: n · sin 1 n = sin 1 n
1
n
lim 3n + 1
n → ∞ n − 1 n
und :
cos 1 n
n · sin 1 n
sin 1 n
1
n
n → ∞
−−−→ 1 .
3 + 1 n
cos 1 n
= lim
n → ∞ 1 − 1 sin 1
n 2 n
1
n
= 3 · 1
1 = 3
30 Es gibt mehrere Verfahren: Man kann z.B. auch durch die höchste auftretende Potenz teilen.
31 Wir vergleichen die gegebene Folge (a n ) n∈N mit einer einfacheren Folge (b n ) n∈N , deren Verhalten für n gegen Unendlich wir bereits kennen:
• Finden wir eine divergente Minorante (Es gilt b n ≤ a n ab einem n 0 ∈ N und (b n ) n∈N −−−→ ∞), dann divergiert auch (a n ) n∈N .
n → ∞
• Finden wir eine konvergente Majorante (Es gilt b n ≥ a n ab einem n 0 ∈ N und (b n ) n∈N −−−→ c ∈ R), dann konvergiert auch (a n ) n∈N .
n → ∞
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny