Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
20.09.2013
10. Tag – Polynome
Lösungen zu Funktionsbegriff II
Nullstellensuche liefert uns: x 1/2 = − 3 √ √
9 33
2 ± 4 + 6 = −3 2 ± . Der Definitionsbereich ist also:
4
(
D f◦g = −∞; − 3 √ ) (
33
2 − ∪ − 3 √ ) [
33
4 2 + 4 ; ∞ = R \ − 3 √ √ ]
33 33
2 − 4 ; −3 2 + 4
∣
∣x 2 − 2x − 4∣ + 2
• (f ◦ h) (x) = √ ∣∣
x 2 − 2x − 4 ∣ ∣
ist definiert für ∣x 2 − 2x − 4∣ > 2 .
− 2
Wir untersuchen den positiven Betragsinhalt, also x 2 − 2x − 4 ≥ 0 und erhalten
x 2 − 2x − 4 > 2 ⇐⇒ x 2 − 2x − 6 > 0 ∣ wir lösen x 2 − 2x − 6 = 0 ⇒ x 1/2 = 1 ± √ 7 .
⇐⇒ x > 1 + √ 7 ∨ x < 1 − √ 7
(
⇐⇒ x ∈ −∞; 1 − √ ) (
7 ∨ x ∈ 1 + √ )
7, ∞
Diese Lösungsmengen liegen innerhalb unseres Fallbereiches, da x 2 −2x −4 > 2 sowieso in x 2 −2x −4 ≥ 0
enthalten ist.
Jetzt untersuchen wir für x 2 − 2x − 4 < 0: −(x 2 − 2x − 4) > 2 ⇐⇒ x 2 − 2x − 2
Mit den Lösungen der entsprechenden Gleichtung x 1/2 = 1 ± √ 3 folgern wir: −(x 2 − 2x − 4) > 2 ist erfüllt,
wenn 1 − √ 3 < x < 1 + √ 3 erfüllt ist. D.h.
(
−∞; 1 − √ ) (
7 ∪ 1 − √ 3; 1 + √ 3
D f◦h =
( [
= R \ 1 − √ 7; 1 − √ ]
3 ∪
)
[
1 + √ 3; 1 + √ 7
(
∪ 1 + √ )
7; ∞
] )
• ( g ◦ f ) (x) = x2 + 12 + 3(x + 2) √ x − 2
ist definiert, wenn die Bedingung x ≠ 2 im Nenner und x ≥ 2
x − 2
in der Wurzel im Zähler erfüllt sind, also: D g◦f = (2; ∞) = R \ (−∞; 2]
• ( g ◦ h ) ∣
(x) = ∣x 4 − 4x 3 − 4x 2 ∣
+ 16x + 16∣ + 3 ∣x 2 − 2x − 4∣ − 4 ist für alle reellen Zahlen definiert:
D g◦h = R
x 2 + 12 − 2(x + 2) √ x − 2
• (h ◦ f) (x) =
∣ x − 2 ∣ ist definiert für:23 D h◦f = (2; ∞) = R \ (−∞; 2] .
• ( h ◦ g ) ∣
(x) = ∣x 4 + 6x 3 − x 2 − 30x + 20∣ ist für alle reellen Zahlen definiert: D h◦g = R
e) • ( f ◦ g ) (x) = −x 2 + 2 ist umkehrbar für x ≥ 0 mit ( f ◦ g ) −1
1
(x) = + √ 2 − x
und umkehrbar für x < 0 mit ( f ◦ g ) −1
2
(x) = − √ 2 − x .
• (f ◦ h) (x) = 5 − x ist global umkehrbar mit (f ◦ h) −1 (x) = 5 − x = (f ◦ h) (x) .
• ( g ◦ f ) (x) = −x 2 − 4x − 4 = −(x + 2) 2 ist umkehrbar für x ≥ −2 mit ( g ◦ f ) −1
1
(x) = −2 + √ −x
23 Mit denselben Begründungen wie g ◦ f .
und umkehrbar für x < −2 mit ( g ◦ f ) −1
2
(x) = −2 − √ −x .
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny