Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
20.09.2013
( ) (
f ◦ g ◦ h (x) = f g ( h(x) )) = f ( g (3 − x) ) (
= f −(3 − x) 2) (
= −(3 − x) 2) + 2
= −(3 − x) 2 + 2
(
g ◦ h ◦ f
)
(x) = g
(h ( f(x) )) = g ( h (x + 2) ) = g ( 3 − (x + 2) ) = − ( 3 − (x + 2) ) 2
10. Tag – Polynome
Lösungen zu Funktionsbegriff II
= −(1 − x) 2
( ) (
h ◦ f ◦ g (x) = h f ( g(x) )) ( (
= h f −x 2)) ( (
= h −x 2) ) ( (
+ 2 = 3 − −x 2) )
+ 2
= x 2 + 1
b)
(
f ◦ g
)
(x) = f
(
g(x)
)
=
(
g(x)
) 2 − g(x) = |x − 1| 2 − |x − 1|
(f ◦ h) (x) = f ( h(x) ) = ( h(x) ) 2
√
− h(x) = x − 2 − x − 2
( ) ( ) ∣ ∣∣x g ◦ f (x) = g f(x) = |f(x) − 1| = 2 − x − 1∣
∣
(
g ◦ h
)
(x) = g
(
h(x)
)
= |h(x) − 1| =
∣ ∣∣ √
x − 2 − 1
∣ ∣∣
(h ◦ f) (x) = h ( f(x) ) = √ f(x) − 2 =
√
x 2 − x − 2
( ) ( ) √ √
h ◦ g (x) = h g(x) = g(x) − 2 = |x − 1| − 2
( ) (
f ◦ g ◦ h (x) = f g ( h(x) )) ( (√ ) ) ( ∣∣∣ √ ∣)
∣∣
= f g x − 2 = f x − 2 − 1
( ) (
g ◦ h ◦ f (x) = g h ( f(x) )) ( (
= g h x 2 − x) ) (√ )
= g x 2 − x − 2
( ) (
h ◦ f ◦ g (x) = h f ( g(x) )) (
= h f ( |x − 1| )) (
)
= h |x − 1| 2 + |x − 1|
= ∣ √ x − 2 − 1∣ 2 − ∣ √ x − 2 − 1∣
√
= ∣ x 2 − x − 2 − 1∣
=
√
|x − 1| 2 + |x − 1| − 2
c)
(
f ◦ g
)
(x) = f
(
g(x)
)
=
g(x) + 2
√
g(x) − 2
= x2 + 3x − 4 + 2
√
x 2 + 3x − 4 − 2
= x2 + 3x − 2
√
x 2 + 3x − 6
(f ◦ h) (x) = f ( h(x) ) = h(x) + 2 √
h(x) − 2
=
∣
∣x 2 − 2x − 4
∣ + 2
√ ∣∣
x 2 − 2x − 4 ∣ ∣ − 2
(
g ◦ f
)
(x) = g
(
f(x)
)
= f(x) 2 + 3f(x) − 4 =
( x + 2
√
x − 2
) 2
+ 3 x + 2 √
x − 2
− 4
=
(x + 2)2
x − 2 + 3 x + 2 √
x − 2
− 4 =
( )
x 2 + 4x + 4 + 3(x + 2) √ x − 2 − 4(x − 2)
x − 2
= x2 + 12 + 3(x + 2) √ x − 2
x − 2
( ) ( ) g ◦ h (x) = g h(x) = h(x) 2 ∣
+ 3h(x) − 4 = ∣x 2 − 2x − 4∣ 2 ∣
+ 3 ∣x 2 − 2x − 4∣ − 4
(
∣ 2∣∣∣ =
∣ x 2 ∣
− 2x − 4)
+ 3 ∣x 2 − 2x − 4∣ − 4
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny