Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
19.09.2013
9. Tag – Allgemeiner Funktionsbegriff
9. Tag – Allgemeiner Funktionsbegriff
1. Übung: Funktionsbegriff I – Aufgaben
1.) Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Funktionen:
a) f(x) = √ 6x 2 − 5x + 6 b) f(x) = x − 5
|x − 5|
c) f(x) = √ |x| − 4 d) f(x) = √ x 2 + 5x + 6,25
2.) a) Welchen Definitionsbereich hat die Funktion: f(x) = √ 3 − 2 |x − 1| ?
b) Gegeben seien die Funktionen: f(x) = (x − 3) 2 + 1 und g(x) = 2x − 1 .
Bilden Sie die Verkettungen g ◦ f und f ◦ g .
c) Welchen Definitionsbereich haben die Summe, das Produkt und die Verkettungen der Funktionen:
f(x) = 1
1 − x
und g(x) = √ x − 1
d) Bilden Sie die Umkehrfunktionen von f(x) = 3x − 2 und g(x) = x 2 − 1 und geben Sie die jeweiligen
Definitionsbereiche an.
3.) Bilden Sie 12 der möglichen Verkettungen von jeweils zwei der Funktionen:
f 1 (x) = 3x − 4 f 2 (x) = x 2 − 1 f 3 (x) = 1 2 x + 1
∣
f 4 (x) = ∣4x 2 + x∣ f 5 (x) = 7x 2 ∣
+ 6x + 5 f 6 (x) = ∣x 2 − 3∣
Lösungen zu Funktionsbegriff I
1.) a) f(x) = √ 6x 2 − 5x + 6 ist definiert, solange der Radikant größer oder gleich Null ist, wir berechnen die
Nullstellen der quadratischen Gleichung und schließen dann den dazwischenliegenen Bereich aus, denn die nach
oben geöffnete Parabel ist dort negativ.
6x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x 2 − 5 6 x + 1 = 0 ⇔ x 1/2 = 5
12 ± √ ( 5
12) 2
− 1 ⇒ es gibt keine Nullstellen,
und damit ist f(x) überall definiert: D ( f(x) ) = D f = R .
b) Für f(x) = x − 5
|x − 5|
D ( f(x) ) = R \ {5} = {x ∈ R | x ≠ 5} .
müssen wir nur x = 5 ausschließen, denn durch Null darf man nicht teilen, also:
c) Bei f(x) = √ |x| − 4 müssen wir wieder den Radikant untersuchen: |x| − 4 ≥ 0 ⇔ |x| ≥ 4, also x ≥ 4
und x ≤ −4 und damit:
D ( f(x) ) =
{x ∈ R ∣ }
|x| ≥ 4 = R \ (−4; 4) = (−∞; −4] ∪ [4; ∞)
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny