Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
04.10.2013
19. Tag – Vektorrechnung in 2D
Lösungen zu Vektorrechnung in 2D I
⇒ 7 − 3µ = 1 + 2ν
2 + 3µ = 1 + 3ν
⇒ µ = 2 − 2 3 ν
ν = 1 3 + µ ⇒ µ = 2 − 2 3 ν
ν = 1 3 + 2 − 2 3 ν
⇒ µ = 2 − 2 3 ν
ν = 7 5
[ ] [ ]
7
D.h. + 16
15
2 · −3
3
• Schnitt von g 6 und g 4 :
= 1
15
⇒ µ = 2 − 14
15
ν = 7 5
[ ] [ ]
105 − 48
= 1 5
30 + 48 · 19
26
[ ] [ ] [ ]
1 2 4
+ ν · = + λ ·
1 3 4
[
⇒ µ = 16
15
ν = 7 5
( )
=⇒ S 5 = 19
5 , 26
5
]
−1
6
⇒ 1 + 2ν = 4 − λ
1 + 3ν = 4 + 6λ
⇒ ν = 3 2 − 1 2 λ
λ = − 1 2 + 1 2 ν ⇒ ν = 3 2 − 1 2 λ
λ = − 1 2 + 3 4 − 1 4 λ
⇒ ν = 3 2 − 1 2 λ ⇒ ν = 14
λ = 1 5 λ λ = 1 5
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
D.h. + 7 5
1 · 2
= 1 5
3 · 5 + 14
= 1 5
5 + 21 · 19
26
10 − 1 10
( )
=⇒ S 6 = 19
5 , 26
5
⇒ ν = 7 5
λ = 1 5
(
Die drei Geraden schneiden sich auch in einem Punkt S 4 = S 5 = S 6 = 19
5 , 26
5
e) Die Richtungsvektoren dieser Geraden können wir aus d) entnehmen, nur die Aufpunkte sind verschieden:
[ ]
[ ] [ ]
x
g 7 : = d + ˜λ · −→ ⊥ [ ] [ ]
AB ⊥ 4 6 4 −1
=
3
+ λ · =
3
+ λ · , λ ∈ R
y
2
1
2
6
[ ]
[ ] [ ]
x
g 8 : = f + ˜λ · −→ ⊥ [ ] [ ]
5/
AC ⊥ 2 3 5/ 2 −3
= + µ · = + µ · , µ ∈ R
y
5/ 2 3 5/ 2 3
[ ]
[ ] [ ]
x
g 9 : = e + ˜λ · −→
⊥ [ ] [ ]
11/
BC ⊥ 2 −3 11/ 2 2
= + ν · = + ν · , ν ∈ R
y
3 2 3 3
Nun schneiden wir diese Geraden paarweise:
)
.
• Schnitt von g 7 und g 8 :
[ ] [ ]
4 −1
+ λ ·
3/ 2 6
=
[ ] [ ]
5/ 2 −3
+ µ ·
5/ 2 3
⇒ 4 − λ = 5 2 − 3µ ⇒ λ = 3
3
2 + 6λ = 5 2 + 3µ ⇒ λ = 3
2 + 3µ µ = − 1 2 + 3µ
3 + 2λ µ = − 1 3 + 3 + 6µ
⇒ λ = 3 2 + 3µ
µ = − 8 15
[ ] [ ]
4
D.h. −
3/ 1 10 ·
2
−1
6
• Schnitt von g 8 und g 9 :
⇒ λ = 3 2 − 8 5
µ = − 8 15
[ ] [ ]
= 1 10 · 40 + 1
= 1 10
15 − 6 · 41
9
[ ] [ ] ]
5/ 2 −3
+ µ · =
5/ 2 3
[
11/ 2
3
⇒ λ = − 1 10
µ = − 8 15
( )
=⇒ S 7 = 41
10 , 9 10
[ ]
+ ν ·
2
3
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝161 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny