Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
30.09.2013
)
⇒ f ′′′ (x) = 60 · (2x) + 40 ·
(−6x −7 = 120x − 240x −7
16. Tag – Differenzieren
Lösungen zu Differenzieren I & II
h) f(x) = 3x 8 − 2x 4 − 5 x + 2 = 3x 8 − 2x 4 − 5x −1 + 2x −3
x
)
3
)
)
)
⇒ f ′ (x) = 3 ·
(8x 7 − 2 ·
(4x 3 − 5 ·
(−x −2 + 2 ·
(−3x −4 = 24x 7 − 8x 3 + 5x −2 − 6x −4
) )
)
)
⇒ f ′′ (x) = 24 ·
(7x 6 − 8 ·
(3x 2 + 5 ·
(−2x −3 − 6 ·
(−4x −5 = 168x 6 − 24x 2 − 10x −3 + 24x −5
)
)
)
⇒ f ′′′ (x) = 168 ·
(6x 5 − 24 · (2x) − 10 ·
(−3x −4 + 24 ·
(−5x −6 = 1008x 5 − 48x + 30x −4 − 120x −6
2.) a) f ′ (x) = 9x 2 + 2 ⇒ f ′ (1) = 11
b) g ′ (x) = 3 · sin(x) + 3x · cos x ⇒ g ′ (π) = −3π
( 2
c) h ′ (x) = 3 · 2x 2 + x)
· (4x + 1) ⇒ h ′ (2) = 2700
d) i ′ (x) = (2x − 3)(3x3 − 2) − (x 2 − 3x)(9x 2 )
(3x 3 − 2) 2 ⇒ i ′ (0) = 3 2
3.) a) f(x) ist ein Polynom und hat daher keine Definitionslücken, d.h. D f = R .
f ′ (x) = x 3 + x 2 + x + 1 =⇒ D f ′ = R . Begründung wie oben.
b) D f = R . f ′ (x) = 2x =⇒ D f ′ = R .
c) D ( (f(t) ) = R . f ′ (t) = 2t =⇒ D ( (f ′ (t) ) ) = R .
d) D f = R \ {−1} ; Nullstelle des Nenners.
( ) x 4
f ′ 1 · (1 + x) − x · 1
(x) = 5 · ·
1 + x (1 + x) 2 = 5x4
(1 + x) 6 =⇒ D f ′ = R \ {−1} s.o.
e) f(x) = cos x ist für alle x ∈ R definiert (3x ebenso), also ist cos(3x) als Komposition ebenfalls überall definiert,
d.h. D f = R .
f ′ (x) = − sin(3x) · 3 =⇒ D f ′ = R .
f) D f = R .
f ′ (x) = − sin(x 3 ) · 3x 2 ist ein Produkt überall definierter Funktionen, d.h. D f ′ = R .
g) f(x) = cos 3 x = (cos x) 3 =⇒ D f = R .
f ′ (x) = 3 · (cos x) 2 · (− sin x) =⇒ D f ′ = R .
h) D f = R . f ′ (x) = 7 · (x 5 + sin x) 6 · (5x 4 + cos x) =⇒ D f ′ = R .
i) f(x) ist als Wurzelfunktion definiert für x 2 − 5x + 6 ≥ 0 ⇒ x 2 − 5x + 6 = 0
⇒ x 1/2 = 5 2 ± 1 2
⇒ x 1 = 2 ∧ x 2 = 3 =⇒ D f = R \ ( 2; 3 ) , wir schneiden den negativen Teil der
Parabelfunktion, d.h. das offene Intervall ( 2; 3 ) aus R heraus.
f ′ 1
(x) =
2 √ x 2 − 5x + 6 · (2x − 5) = 2x − 5
2 √ =⇒ D f
x 2 ′ = R \ [2; 3] .
− 5x + 6
Nun muss auch √ . . . = 0 ausgeschlossen werden, da die Wurzel im Nenner eines Bruches steht.
√
j) f(x) ist definiert für −x 4 + 11 ≥ 0 ⇒ 4 11 ≥ x ≥ −
4√ √ ]
11 =⇒ Df =
[− 4 11;
4√
11
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny