Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
4. Tag – Lineare (Un-)Gleichungen
Das letzte Beispiel der Vorlesung „Lineare (Un-)Gleichungen“ noch einmal aufbereitet.
Das letzte Beispiel der Vorlesung „Lineare (Un-)Gleichungen“ noch einmal aufbereitet.
∣ Welche x ≠ 0 erfüllen die Ungleichung
2 ∣∣∣
∣x + 8 ≥ 4 ?
Zunächst muss x ≠ 0 gelten; wir betrachten die gegenteilige Ungleichung, da sie leichter zu lösen ist:
∣ 2 ∣∣∣
∣x + 8 < 4 ⇐⇒ −4 < 2 x + 8 < 4 | −8
⇐⇒ −12 < 2 x < −4
⇐⇒ − 1 12 > x 2 > −1 4
⇐⇒ − 1 6 > x > −1 2
⇐⇒ − 1 2 < x < −1 6
⇐⇒
x ∈
(
− 1 )
2 , −1 6
(
und daraus entnehmen wir: L = −∞; − 1 ]
∪
[− 1 ) {
}
2 6 ; 0 ∪ (0; ∞) = x ∈ R \{0}
∣ x ≤ −1 2 ∨ −1 6 ≤ x .
Alternativ können wir auch eine Fallunterscheidung machen, dazu müssen wir den Betragsinhalt untersuchen:
2
x + 8 ≥ 0
| −8
⇐⇒ 2 x ≥ −8 Kehrwert
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x
2 ≥ −1 8
x
2 ≤ −1 8
für x > 0
für x < 0
| ·2
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ≥ − 1 4
x ≤ − 1 4
für x > 0
für x < 0
Damit erhalten wir: Der Betragsinhalt wird positiv, wenn x > 0 ist und wenn x kleinergleich − 1 4 ist. Für x ∈ (
− 1 4 ,0 )
wird der Betragsinhalt negativ. Nun können wir beginnen:
x > 0 :
2
x + 8 ≥ 4 ⇔ 2 x ≥ −4 ⇔ x 2 ≥ −1 4
=⇒ x > 0
⇔ x ≥ − 1 2
x ≤ − 1 4 : 2
x + 8 ≥ 4 ⇔ 2 x ≥ −4 ⇔ x 2 ≤ −1 4
⇔ x ≤ − 1 2
=⇒ x ≤ − 1 2
x ∈
(− 1 ) ( ) 2
4 ,0 : −
x + 8 ≥ 4 ⇔ 2 x + 8 ≤ −4 ⇔ 2 x ≤ −12 ⇔ x 2 ≥ − 1 12
⇔ x ≥ − 1 6
=⇒ x ≥ − 1 6
Damit ergibt sich die Gesamtlösung wie oben.
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝30 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny