Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
20.09.2013
10. Tag – Polynome
10. Tag – Polynome
1. Übung: Polynome I – Aufgaben
1.) Berechnen Sie die Unbekannten A bis F durch Koeffizientenvergleich:
a) Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = (2x − 1)(1 − x)(5 + 2x)
( )
( )
b) Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = x − 1 2
(2x − 8) (2 − 2x) x + 3 2
( ) ( )
c) 1
2 − x (2 − 2x) 2 x 2 − 3x = Ax 5 + Bx 4 + Cx 3 + Dx 2 + Ex + F
d) 4x 3 + 2x 2 − 3x + 17 = A(x − 1) + B(x 2 − 2x + 1) + C(x 3 + 4x)
2.) a) Bestimmen Sie durch Koeffizientenvergleich A und B so, dass gilt:
b) Bestimmen Sie A und B so, dass gilt:
A
x + 3 + B
x − 4 = 2x − 5
(x + 3)(x − 4) ; x ≠ −3; x ≠ 4
A
x + 3 + B
(x + 3) 2 = 2x + 1
(x + 3) 2 ; x ≠ −3
c) Werten Sie mit dem Horner-Schema das Polynom p(x) = x 4 − x 2 + x − 3 an den Stellen x = −1 sowie x = 2
und x = 3 aus.
2x 3 + x 2 − 6x + 4
x 4 + 10x 2 − 3x + 1
d) Dividieren Sie mit Rest: i)
x 2 ii)
+ 3
x 3 + 3x 2 + x
e) Das Polynom p(x) = 3x 3 − 3x 2 − 12x + 12 besitzt die Nullstelle x 1 = 1.
Dividieren Sie p(x) durch (x − 1) und schreiben Sie p(x) als Produkt.
3.) In der Mathematik gibt es vielfältige Anwendungsmöglichkeiten für Polynome. Oft sind spezielle Polynome nach ihren
Entdeckern benannt. Betrachten wir einmal wie sog. Tschebyscheff-Polynome, die u.a. in der Numerik, genauer bei
der Interpolation Verwendung finden:
T 1 (x) = x , T 2 (x) = 2x 2 − 1 , T 3 (x) = 4x 3 − 3x , T 4 (x) = 8x 4 − 8x 2 + 1 , . . .
a) Berechnen Sie mit der Rekursionsformel T n+1 (x) = 2x T n (x) − T n−1 (x) die Tschebyscheff-Polynome bis
T 8 (x) .
b) Berechnen Sie die Nullstellen von T 1 (x) bis T 4 (x) .
c) Skizzieren Sie die Polynome für das Intervall [−1,1] .
d) Beweisen Sie allgemein die beiden Aussagen:
• „Ist der Grad eines Tschebyscheff-Polynoms gerade, dann ist es eine gerade Funktion.“
• „Ist der Grad eines Tschebyscheff-Polynoms ungerade, dann ist es eine ungerade Funktion.“
Tipp: Betrachten Sie zunächst einige Beispiele und argumentieren Sie mit Hilfe der Rekursionsformel.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny