Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
24.09.2013
d) log a (10) + log b (10) = ln(10)
ln(a) + ln(10) ( 1
= ln(10) ·
ln(b)
ln(a) + 1 )
ln(b)
e) i) 5 log a (x) + 3 log a (y) = log a (x 5 ) + log a (y 3 ) = log a (x 5 · y 3 )
12. Tag – Trigonometrische Funktionen
Lösungen zu e/ln-Funktion II
ii) 5 log a (x) + 3 = log a (x 5 ) + 3 log a (a) = log a (x 5 ) + log a (a 3 ) = log a (x 5 · a 3 )
2.) a) ln(x 3 ) + 2 = 0 ⇒ e ln(x3) = e −2 ⇒ x 3 = e −2 ex ≥0
=⇒ x = + 3 √
e −2
⇒ x = e − 2 3
b) 3 x−2 = 5 3 ⇒ ln(3 x−2 ) = ln 5 3 ⇒ (x − 2) · ln(3) = 3 · ln(5)
⇒ x = 2 + 3 · ln(5)
ln(3)
c) e 2x + e x − 1 = 0 ⇒ (e x ) 2 + e x − 1 = 0 ex =y
=⇒ y 2 + y − 1 = 0
√
⇒ y 1/2 = − 1 2 ± 1
4 + 1 = − 1 2 ± √ 1 e x ≥0
2 5 =⇒ e x = − 1 2 + 2√ 1 5
(
⇒ x = ln − 1 2 + √ )
1
2 5
d) ln(x) + ln( √ x) = 2 ln(x) ⇒ ln √ ( √x ) ( ) 1
x − ln(x) = 0 ⇒ ln = ln √x = 0
x
e) 4 3x−5 = 32 ⇒
(
2 2 ) 3x−5
= 2 5 ⇒ 6x − 10 = 5
⇒ x = 1
⇒ x = 5 2
f) a 7 · a 3(x+2) = a · a x(x−1) ⇒ a 3x+13 = a x2 −x+1 ⇒ x 2 − 4x − 12 = 0 ⇒ x 1/2 = 2 ± √ 4 + 12
⇒ x 1 = 6 und x 2 = −2
g) 4 x−1 + 5 2 · 2x − 11
4 = 0 ⇔ 22x−2 + 5 2 · 2x − 11
4 = 0 ⇔ 2−2 · (2 x ) 2 + 5 2 · 2x − 11
4 = 0
Mit u = 2 x ergibt sich:
1
4 u2 + 5 2 u − 11
4 = 0 ⇔ u2 + 10u − 11 = 0 ⇒ u 1/2 = −5 ± √ 25 + 11 ⇒ u 1 = 1 ∧ u 2 = −11 .
Da 2 x > 0 für alle x ∈ R gilt, erhalten wir als einzige Lösung
⇒ u = 2 x = 1 ⇔ x = 0
h) 2 2x−1 + 5 · 2 x + 9 2 = 0 ⇔ 1 2 (2x ) 2 + 5 · 2 x + 9 2 = 0
Mit u = 2 x ergibt sich:
1
2 u2 + 5u + 9 2 = 0 ⇔ u2 + 10u + 9 = 0 ⇒ u 1/2 = −5 ± √ 25 − 9 ⇒ u 1 = −1 und u 2 = −9 .
Da 2 x > 0 für alle x ∈ R gilt, gibt es keine Lösung.
⇒ L = ∅
3.) Es gilt beide Male x = 0, die Funktionen haben also einen Schnittpunkt bei (0,1) . Weiter kann man aus der
Gleichheit in einem Punkt nichts für die Funktionen folgern.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny