Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
17.09.2013
7. Tag – Lineare und quadratische Funktionen
Lösungen zu Wurzeln II
Alternativ kann man nun natürlich auch erweitern:
(
a + b
3√ a +
3√ =
a + b 3√ √ 3√
a
b 3√ a +
3√ ·
2 − 3 ab + b 2 (a + b)
3√ √ 3√
b a 2 − = ( )
3
ab + b 2 3√ a +
3√
b
=
(
3√ √ )
3√
(a + b) a 2 − 3 ab + b 2 (a + b)
√ √ √ √
a + 3 a 2 b − 3 a 2 b − 3 ab 2 + 3 ab 2 + b =
√ √ √
= 3 a 2 − 3 3
ab + b 2
3√ √ )
3√
a 2 − 3 ab + b 2
(
3√ √ )
3√
· a 2 − 3 ab + b 2
(
3√ √ )
3√
a 2 − 3 ab + b 2
a + b
5.) Wir verallgemeinern den Beweis der Irrationalität von √ 2:
Nehmen wir an, es gelte √ n ∈ Q, dann betrachten wir den dazugehörigen, vollständig gekürzten Bruch: √ n = p q ,
d.h. dass p und q teilerfremd sind.
• Durch Quadrieren ergibt sich daraus: n = p2
bzw. p 2 = n · q 2 , was bedeutet, dass p 2 durch n teilbar ist.
q 2
• Dann muss bereits p durch n teilbar sein, es gibt also eine natürliche Zahl r mit n · r = p .
• Wir schreiben nun p 2 = (n · r) 2 = n 2 r 2 und es gilt: n 2 r 2 = p 2 = nq 2 , woraus wir q 2 = n · r 2 folgern, damit
sind q 2 und folglich q durch n teilbar.
• Damit haben wir gezeigt, dass im vollständig gekürzten Bruch p q
Zähler und Nenner durch n teilbar sind, wir
also doch noch kürzen könnten.
Damit ist gezeigt, dass die Annahme √ n ∈ Q falsch ist und somit √ n /∈ Q gelten muss.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny