Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
09.09.2013
1. Tag – Elementares Rechnen
Lösungen zu Elementares Rechnen I
3.) a) 169a 2 − 130ab + 25b 2 = (13a) 2 − 130ab + (5b) 2 = (13a) 2 − 2 · (13a) · (5b) + (5b) 2 = (13a − 5b) 2
b) 9a 4 b 2 + 12a 2 b + 4 = (3a 2 b) 2 + 12a 2 b + (2) 2 = (3a 2 b) 2 + 2 · (3a 2 b) · (2) + (2) 2 = (3a 2 b + 2) 2
c) (a + b + 1)(a + b − 1) = ( (a + b) + 1 )( (a + b) − 1 ) = (a + b) 2 − 1 2 = a 2 + 2ab + b 2 − 1
d) a 2 − 2ab + 2b 2 + 2b + 1 = (a 2 − 2ab + b 2 ) + (b 2 + 2b + 1) = (a − b) 2 + (b + 1) 2
( √ab ) (
e) − 1 −1 − √ ) ( √ab ) ( √ab )
ab = − − 1 + 1 = −(ab − 1) = 1 − ab
f) (−5a − 3b) 2 + (−5a + 3b) 2 = (25a 2 + 30ab + 9b 2 ) + (25a 2 − 30ab + 9b 2 ) = 50a 2 + 18b 2
4.) a) −4x − 16 = −4(x + 4)
b) 49x 2 − 64 = (7x) 2 − 8 2 = (7x + 8)(7x − 8)
c) ax − ay + bx − by = a(x − y) + b(x − y) = (a + b)(x − y)
(
) (
)
d) 192x 2 y 2 + 216x 3 y − 144xy 2 = xy 192xy + 216x 2 − 144y = 2xy 96xy + 108x 2 − 72y
(
) (
)
= 4xy 48xy + 54x 2 − 36y = 8xy 24xy + 27x 2 − 18y
(
)
= 24xy 8xy + 9x 2 − 6y
e) −(u − v)(u + v) + 2u(u + v) = (u + v) ( 2u − (u − v) ) = (u + v) (2u − u + v) = (u + v) 2
f) (2m − n) 2 − (n + 2m) 2 = ( (2m − n) + (n + 2m) ) ( (2m − n) − (n + 2m) ) = (4m) (−2n) = −8mn
)
)
Oder: (2m − n) 2 − (n + 2m) 2 =
(4m 2 − 4mn + n 2 −
(n 2 + 4mn + 4m 2 = −8mn
g) − 12a + 6b + 6ab − 3b 2 + 4ac − 2bc − 2abc + b 2 c
= a (−12 + 6b + 4c − 2bc) + 6b − 3b 2 − 2bc + b 2 c
= 2a (−6 + 3b + 2c − bc) + b (6 − 3b − 2c + bc)
= 2a (−6 + 3b + 2c − bc) − b (−6 + 3b + 2c − bc)
= (2a − b) ( −6 + 3b + c (2 − b) ) = (2a − b) ( −3 (2 − b) + c (2 − b) )
= (2a − b) (c − 3) (2 − b)
h) 144a 2 x 2 − 720a 2 xy + 900a 2 y 2 − 196b 4 x 2 + 980b 4 xy − 1225b 4 y 2
= a 2 ( 144x 2 − 720xy + 900y 2) − b 4 ( 196x 2 − 980xy + 1225y 2)
(
= 36a 2 4x 2 − 20xy + 25y 2) ( − 49b 4 4x 2 − 20xy + 25y 2)
(
= 36a 2 − 49b 4) ( (2x) 2 − 2 · 2x · 5y + ( 5y ) ) (
2
= 36a 2 − 49b 4) ( ) 2 2x − 5y
(
= 6a + 7b 2) ( 6a − 7b 2) ( ) 2 2x − 5y
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny