Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
02.10.2013
18. Tag – Integrieren
Lösungen zu Integrieren I
5.) Durch „scharfes Hinsehen“ können wir das Verhalten des inneren (linearen Terms) raten oder aber formal mit
Substitution
ˆ
rechnen:
a) sin(2x − 5) dx mit t := 2x − 5 =⇒ dt
dx = 2 ⇒ dx = 1 2 dt
ˆ
ˆ
=⇒ sin(2x − 5) dx = sin t · 1
2 dt = 1 2 · (− cos t) + C = −1 · cos(2x − 5) + C
2
(
Probe: − 1 ) ′
2 · cos(2x − 5) 1 = −
2 · (−
sin(2x − 5) ) · 2 = sin(2x − 5)
ˆ
=⇒ sin(2x − 5) dx = − 1 · cos(2x − 5) + C
2
„Raten“ funktioniert so:
ˆ
Beachten wir bei sin(2x − 5) dx zunächst nur die äußere Funktion, dann raten wir damit: − cos(2x − 5) und
leiten probehalber ab:
(
− cos(2x − 5)
) ′ = sin(2x − 5) · 2
b)
Wir erhalten also mit unserem geratenen Ansatz einen zusätzlichen Faktor 2, diesen korrigieren wir und erhalten:
ˆ
=⇒ sin(2x − 5) dx = − 1 · cos(2x − 5) + C
2
ˆ
1
5x − 4
ˆ
=⇒
Probe:
dx mit t := 5x − 4 =⇒
dt
dx = 5 ⇒ dx = 1 5 dt
ˆ
1
1
5x − 4 dx = t · 1
5 dt = 1 5 · ln |t| + C = 1 · ln |5x − 4| + C
5
( 1
) ′
5 · ln |5x − 4| 1 =
5 · 1
5x − 4 · 5 = 1
5x − 4
=⇒
ˆ
1
5x − 4 dx = 1 · ln |5x − 4| + C
5
„Raten“ funktioniert so:
ˆ
1
dx ; wir raten: ln |5x − 4|, testweise ableiten liefert hier den Faktor 5, also gilt:
5x − 4
ˆ
1
=⇒
5x − 4 dx = 1 · ln |5x − 4| + C
5
ˆ
4√ dt
c) 2x + 2 dx mit t := 2x + 2 =⇒
dx = 2 ⇒ dx = 1 2 dt
Wir können die Substitution auch nach x auflösen:
t := 2x + 2 ⇔ x = t−2
2
=⇒ dx
dt = 1 2 ⇒ dx = 1 2 dt
ˆ
ˆ
4√
=⇒ 2x + 2 dx = t 4 1 1 ·
2 dt = 1 2 · 1
1
4 + 1 · t 4 1 +1 + C = 2 5 · (2x
+ 2 ) 5 4
+ C
( 2
Probe:
5 · (2x
+ 2 ) ) 5 ′ 2
4 =
5 · 5
4 · (2x
+ 2 ) 14 · 2 = ( 2x + 2 ) 4
1
Mathematik Vorkurs P2
=⇒
ˆ
4√
2x + 2 dx =
2
5 · (2x
+ 2 ) 5 4
+ C
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Dipl. Math. Stefan Podworny