Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
13.09.2013
5. Tag – Potenzen & Logarithmen
Lösungen zu Lineare Un-/Gleichungen II
• −1 ≤ x < 3 , d.h. der erste Betragsinhalt ist positiv, der zweite negativ: 10
x + 1 = −5(x − 3) ⇔ x + 1 = −5x + 15 ⇔ 6x = 14 ⇔ x = 7 3
Probe: x = 7 3
erfüllt −1 ≤ x < 3 .
{ }
Es gilt: L = 7
3 ; 4 .
f)
2x + 4
∣ x − 3 ∣ = 1 ist nur für x ≠ 3 definiert. Mit Fallunterscheidung:
• 2x + 4
x − 3 ≥ 0 : 2x + 4
= 1 ⇔ 2x + 4 = x − 3 ⇔ x = −7
x − 3
2 · (−7) + 4
Probe:
= −10 = 1 ≥ 0 ist erfüllt.
(−7) − 3 −10
• 2x + 4
x − 3 < 0 : −2x + 4
x − 3 = 1 ⇔ 2x + 4 = −x + 3 ⇔ 3x = −1 ⇔ x = −1 3
( )
2 · − 1 3
+ 4
Probe:
Damit haben wir L =
− 1 3 − 3 = − 2 3 + 12
3
− 10 =
3
{ }
−7; − 1 3
.
g) |2x − 4| ≥ x + 1 mit Fallunterscheidung:
10
3
− 10 3
= −1 < 0 ist erfüllt .
• x ≥ 2: 2x − 4 ≥ x + 1 ⇔ x ≥ 5 ≥ 2 , d.h. Probe stimmt.
• x < 2: −2x + 4 ≥ x + 1 ⇔ 3 ≥ 3x ⇔ x ≤ 1 < 2 , diese Probe stimmt auch.
Wir erhalten insgesamt: L = {x ∈ R | x ≥ 5 ∨ x ≤ 1} = R \ (1; 5) = (−∞, 1] ∪ [5, ∞) .
h) |x + 2| + |x + 4| − 12 = 0 mit Fallunterscheidung:
• x ≥ −2: x + 2 + x + 4 − 12 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 ≥ −2 .
• x ≤ −4: −(x + 2) − (x + 4) − 12 = 0 ⇒ −x − 2 − x − 4 − 12 = 0 ⇒ −2x = 18
⇒ x = −9 ≤ −4 .
• −4 ≤ x ≤ −2 : −(x + 2) + (x + 4) − 12 = 0 ⇒ −10 = 0
Damit gilt: L = {−9; 3} .
i) |5 − x| ≤ 11 mit Fallunterscheidung:
• 5 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 : 5 − x ≤ 11 ⇒ −6 ≤ x
D.h. alle x mit −6 ≤ x ≤ 5 sind Lösungen für diesen Fall.
• 5 − x < 0 ⇔ x > 5 : −5 + x ≤ 11 ⇒ x ≤ 16
In diesem Fall sind alle x mit 5 < x ≤ 16 Lösungen.
Also: L = {x ∈ R | −6 ≤ x ≤ 16} = [−6; 16] .
j) |x + 1| + |2x + 3| − |x − 4| = 0 erfordert mehrfache Fallunterscheidung, wir gehen den Zahlenstrahl ab:
• x ≥ 4 : x + 1 + 2x + 3 − (x − 4) = 0 ⇔ 2x + 8 = 0 ⇔ x = −4
• −1 ≤ x < 4 : x + 1 + 2x + 3 + (x − 4) = 0 ⇔ 4x = 0 ⇔ x = 0 ̌
10 Andersherum: x < −1 und x ≥ 3 geht zwar nicht, liefert aber beim Rechnen auch die Lösung x = 7 3 .
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny