Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
04.10.2013
19. Tag – Vektorrechnung in 2D
Lösungen zu Integrieren II
f)
ˆ2
1
(2x 2 + 5) 2 dx =
ˆ2
1
( 4
=
5
= 4 5
= 1447
15
[ 4
4x 4 + 20x 2 + 25 dx =
5 x5 + 20
2
3 x3 + 25x]
1
) (
20
4 · 32 +
3 · 8 + 50 −
5 + 20 )
3 + 25
· 31 +
20
3
124
· 7 + 25 =
5 + 140 124 · 3 + 140 · 5 + 25 · 15
+ 25 =
3 15
2.) a)
b)
c)
d)
ˆ3
−2
3
ˆ5 π
0
ˆ2
1
ˆ2
1
[ 1
x 3 − 3x dx =
4 x4 − 3 ] 3
2 x2 −2
2 sin(2x) dx =
x · e x dx =
= 35
4
[ ] 3
5 π
− cos(2x) = 1 (
5 + √ )
5 ≈ 1,81
0 4
[
e x (x − 1)] 2
1 = e2 ≈ 7,39
ln x dx =
[x · (ln(x)
− 1 )] 2
= ln 4 − 1 ≈ 0,39
1
e) Mit der Regel ´ f(αx + β) dx = 1 α · F(αx + β) und ´ x − 1 2 dx = − 1 x 1 − 2
1 2
ˆ2
0
ˆ2
3
√ dx = 3
5x + 2
0
[
(5x + 2) − 1 2
1
(
dx = 3 ·
5 · 2 √ ) ] 2
5x + 2
0
[ ] 6 √ 2
= 5x + 2
5
0
= 6 (√
5 ·
√ )
12 − 2 ≈ 2,46
= 2 √ x erhalten wir:
f)
ˆ
−2
−1
ˆ
2x 2 e − 2 1 x3 dx =
−2
−1
2 ·
(
− 2 )
3
·
(− 3 )
2 x2
} {{ }
(
=
e − 2 1 x3 dx = − 4 ˆ
3 ·
) ′
− 1 2 x3
−2
−1
(− 3 )
2 x2 e − 2 1 x3
} {{ }
=
(e ) − 1 2 x3 ′
dx
3.) a)
= − 4 ˆ
3 ·
ˆ 2x 4 + 3x 3 − 4x 2 − 3
x 2 + x − 2
−2
−1
(e − 1 2 x3) ′
ˆ
dx =
dx =
[− 4 ] −2 [ ]
3 e− 2 1 4 −1
x3 =
3 e− 1 2 x3 = 4 ( √e )
3 · − e
4
≈ −70,60
ˆ
2x 2 + x − 1 dx +
−1
3x − 5
(x − 1)(x + 2) dx
= 2 3 x3 + 1 ˆ −
2 ˆ 11
2 x2 3
− x +
x − 1 dx + 3
x + 2 dx
−2
= 2 3 x3 + 1 2 x2 − x − 2 3
ln |x − 1| +
11
3
ln |x + 2| + C
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝167 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny