Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
08.10.2013
21. Tag – Gauß-Algorithmus
2. Übung: Vektorrechnung in 3D III – Aufgaben
2. Übung: Vektorrechnung in 3D III – Aufgaben
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−2
0 3
−4
1.) Schreiben Sie v = ⎢
⎣ 3⎥
⎦ als Linearkombination von a = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ , b = ⎢
⎣1
⎥
⎦ und c = ⎢
⎣ 2⎥
⎦ .
1
0 0
1
2.) Gegeben seien die Punkte A = (1, −2, 1), B = (3, 2, 3), C = (2, 7, 0) und D = (8, 1, 2). Man bestimme denjenigen
Punkt P auf der Geraden durch A und B, welcher von C und D gleich weit entfernt ist.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 −1 3
3.) Man bestimme die Konstante λ ∈ R derart, dass die drei Vektoren a = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ , b = ⎢
⎣ 3⎥
⎦ , c = ⎢
⎣λ
⎥
⎦ komplanar
1 λ 5
sind, d.h. in einer Ebene liegen.
4.) Sei g die Gerade durch die Punkte (1,0, − 1) und (0, − 1,2) und h die Gerade durch die Punkte (−3, − 1,4) und
(2,1,4). Bestimmen Sie:
a) Die Parameterformen der Geraden, b) ihre Lage zueinander,
c) den Abstand der beiden Geraden, d) ihr gemeinsames Lot.
5.) Untersuchen
⎡ ⎤
Sie
⎡
für die
⎤
nachstehenden
⎡ ⎤
Geradenpaare
⎡ ⎤
ihre
⎡
jeweilige
⎤
Lage
⎡ ⎤
zueinander:
x 0 1
x −3 2
a) g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ + s · ⎢
⎣ 2⎥
⎦ und h : ⎢
⎣y⎥
⎦ = ⎢
⎣ 0⎥
⎦ + t · ⎢
⎣1
⎥
⎦ s,t ∈ R
z 4 −3
z −1 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x 2 −2
x 0 2
b) g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣1
⎥
⎦ + s · ⎢
⎣ 0⎥
⎦ und h : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣−2
⎥
⎦ + t · ⎢
⎣ 0⎥
⎦ s,t ∈ R
z 0 3
z −1 −3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x −2 −1
x 2 2
c) g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣−3
⎥
⎦ + s · ⎢
⎣−2
⎥
⎦ und h : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣3
⎥
⎦ + t · ⎢
⎣ 2⎥
⎦ s,t ∈ R
z −1 1
z 1 −2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x 1 −2
x −3 4
d) g : ⎢
⎣y⎥
⎦ = ⎢
⎣2
⎥
⎦ + s · ⎢
⎣ 1⎥
⎦ und h : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣ 4⎥
⎦ + t · ⎢
⎣−2
⎥
⎦ s,t ∈ R
z 3 0
z 3 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−1 0 1
2
2
−4
−2
1
6.) Seien a =
−3
, b =
3
, c =
−4
und d =
−3
gegeben. Berechnen Sie
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0⎦
⎣ 0⎦
⎣−3⎦
⎣ 0⎦
−6 1 5
−2
a) a + b b) c − d c) b − a + c
d) |a| + |c| e) |d| − |b| f) 5a − 3d + 1 2 b
g) a · b h) c · d i)
Mathematik Vorkurs P2
a · d
b · c
✞ ☎
✝177 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny