Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
07.10.2013
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4.) a) Wir erhalten die Gerade mit −→ −2 2 −4
AB = b − a = ⎢
⎣ 6⎥
⎦ − ⎢
⎣−1
⎥
⎦ = ⎢
⎣ 7⎥
⎦ , also:
6 5 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
g : r = a + λ · −→ 2 −4
AB = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ + λ ⎢
⎣ 7⎥
⎦ , λ ∈ R
5 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
3 8
b) Es ergibt sich: g : r = a + λ · s =⇒ g : r = ⎢
⎣−2
⎥
⎦ + λ ⎢
⎣ 7⎥
⎦ , λ ∈ R
3 −2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
0 0
0
c) Die z-Achse läuft bspw. durch ⎢
⎣0
⎥
⎦ und ⎢
⎣0
⎥
⎦ =⇒ g : r = λ ⎢
⎣0
⎥
⎦ , λ ∈ R
0 1
1
⎡ ⎤
⎡ ⎤
0
1
d) Die Gerade senkrecht zur xz-Ebene, d.h. s = ⎢
⎣1
⎥
⎦ durch den Punkt A = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ :
0
−1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0
=⇒ g : r = ⎢
⎣−1
⎥
⎦ + λ ⎢
⎣1
⎥
⎦ , λ ∈ R
−1 0
20. Tag – Vektorrechnung in 3D
Lösungen zu Vektorrechnung in 3D I & II
e) Die Geraden liegen in ⎡der⎤
xz-Ebene, ⎡ ⎤d.h. es gilt y = 0⎡
für ⎤die Richtung. 45 ◦ mit der positiven x-Achse bedeutet,
1 1
0
als Richtung kommen ⎢
⎣0
⎥
⎦ und ⎢
⎣ 0⎥
⎦ in Frage. Mit ⎢
⎣0
⎥
⎦ als Aufpunkt führt dies auf
1 −1
0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 1
0 1
g 1 : r = ⎢
⎣0
⎥
⎦ + λ ⎢
⎣0
⎥
⎦ , λ ∈ R und g 2 : r = ⎢
⎣0
⎥
⎦ + µ ⎢
⎣ 0⎥
⎦ , µ ∈ R
0 1
0 −1
Läßt man die obige Bedingung ⎡ (die ⎤ Gerade solle durch den Ursprung laufen) weg, dann sind als einfache
0 Stützvektoren auch alle r 0 = ⎢
⎣x
0⎥
⎦ mit x 0 ≥ 0 möglich. 34
0
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
5.) Wir nehmen −−→
P 0 P 1 = ⎢
⎣− 7 / 2 x 3
4⎥
⎦ als Richtungsvektor der Geraden und erhalten g : ⎢
⎣y
⎥
⎦ = ⎢
⎣1
⎥
⎦ + t · ⎢
⎣− 7 / 2 4⎥
⎦ .
−10
z 7 −10
34 Man kann nun sogar einen beliebigen Punkt des R 3 als Aufpunkt verwenden, mit den obigen Richtungen läuft die Gerade dann so oder so
irgendwann durch die x -Achse.
Mathematik Vorkurs P2
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Dipl. Math. Stefan Podworny