Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

⎡ ⎤
⎡ ⎤
2
5
7.) a) Ist ⎢
⎣ 1⎥
⎦ kollinear zu ⎢
⎣ 2⎥
⎦ ? - Nein, also:
−1
−3
WiSe 2013/14
07.10.2013
20. Tag – Vektorrechnung in 3D
Lösungen zu Vektorrechnung in 3D I & II
−1 + 2λ − 4 − 5µ = 0
−1 + 1λ − 3 − 2µ = 0
1 − 1λ + 4 + 3µ = 0
=⇒
2λ − 5µ = 5
1λ − 2µ = 4
−1λ
⎧
+ 3µ = −5
II+III
=⇒
2λ − 5µ = 5
1λ − 2µ = 4
µ = −1
=⇒
Es gibt keinen Schnittpunkt, d.h. g und h sind windschief.
⎡ ⎤
⎡ ⎤
0
1
b) Ist ⎢
⎣2
⎥
⎦ kollinear zu ⎢
⎣1
⎥
⎦ ? - Nein, also:
4
8
⎪⎨
⎪⎩
2λ = 5 + 5µ = 0 ⇒ λ = 0
λ = 4 + 2µ ⇒ λ = 2
µ = −1
− µ = 0
1 + 2λ + 1 − µ = 0 =⇒
2 + 4λ − 2 − 8µ = 0
⎧
⎨II : 2λ = −2 ⇒ λ = −1
=⇒ µ = 0 ⇒
⎩III : λ = 0
Es gibt keinen Schnittpunkt, d.h. g und h sind windschief.
µ = 0
2λ − µ = −2
4λ − 8µ = 0
8.) Wir lösen die Aufgabe mit der Formel für den Mittelpunkt M einer Strecke AB: m = 1 2 · (a + b) . Wir erhalten drei
Gleichungen:
m = 1 (a + b)
2 I
n = 1 (b + c)
2 II
p = 1 (a + c)
2 III
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−2 2 1 −1
Geschickte Addition, z.B. I + III − II liefert: a = m + p − n = ⎢
⎣ 1⎥
⎦ + ⎢
⎣7
⎥
⎦ − ⎢
⎣0
⎥
⎦ = ⎢
⎣ 8⎥
⎦ .
−4 8 3 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−2 1 2 −3
Analog erhält man: b = m + n − p = ⎢
⎣ 1⎥
⎦ + ⎢
⎣0
⎥
⎦ − ⎢
⎣7
⎥
⎦ = ⎢
⎣−6
⎥
⎦ .
−4 3 8 −9
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 1 −2 5
und c = p + n − m = ⎢
⎣7
⎥
⎦ + ⎢
⎣0
⎥
⎦ − ⎢
⎣ 1⎥
⎦ = ⎢
⎣ 6⎥
⎦ .
8 3 −4 15
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝173 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny