Material zum Vorkurs P2 WiSe 2013/14

WiSe 2013/14
01.10.2013
17. Tag – Kurvendiskussion
Lösungen zu Kurvendiskussion I
Dass
(
es sich
)
um ein Maximum handelt ist klar (wie unten) und ergibt sich rechnerisch aus V ′′ (h) = −π 3 2 h bzw.
2R
V ′′ √3 < 0 .
√
( ) 2R 2 √
Damit ergibt sich nun r = R 2 −
2 √ 2
=
3R und h = √2R
3
3
• h = 2 √ R 2 − r 2 liefert V (r) = πr 2 2 √ R 2 − r 2 = 2π √ R 2 r 4 − r 6 . Die Suche nach dem Maximum ergibt nun:
V ′ (r) = 2π
(4R 2 r 3 − 6r 5) = π 4R 2 r 3 − 6r 5
√ und
R 2 r 4 − r 6
1
2 √ R 2 r 4 − r 6 ·
V ′ (r) = 0 ⇒ 2r 3 (
2R 2 − 3r 2 )
= 0 ⇒ r 2 = 2 3 R 2 ⇒ r =
√
2
3 R
Dass es sich um ein Maximum handelt, ergibt sich aus der simplen Überlegung, dass für r = 0 und r = R das
Volumen jeweils Null ist und dazwischen positiv, da wir nur einen Extrempunkt in diesem Bereich haben, muss es
ein Maximum sein.
Damit ergibt sich nun r =
√
2
3 R und h = 2 √
R 2 − 2 3 R 2 = 2R √
3
Damit haben wir für das maximale Volumen V = 4
3 √ 3 π R 3 = 1 √
3
V K ugel .
3.) Datei fehlt!
4.) a) f(x) = √ x 3 − 4x ; f ′ (x) = 3x2 − 4
2 √ x 3 − 4x ;
f ′′ (x) = 3x4 − 24x 2 − 16
4 ( x 3 − 4x ) 3 2
• Definitionsbereich
3
; f ′′′ (x) = −
(
)
x 6 − 20x 4 − 80x 2 + 64
8 ( x 3 − 4x ) 5 2
Betrachte: x 3 − 4x = (x 2 − 4)x ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 ∧ −2 ≤ x ≤ 0
D ( (f(x) ) = [−2,0] ∪ [2,∞)
• Symmetrie
Der Definitionsbereich zeigt an, dass f(x) keine offensichtliche Symmetrie hat.
• Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse
Da gilt √ x = 0 ↔ x = 0 setzen wir (x 2 − 4)x = 0 und erhalten x 1/2 = ±2 sowie x 3 = 0 als Nullstellen.
Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0, 0) .
• Asymptoten
lim f(x) = ∞, da für (betragsmäßig) große x gilt fx ≈ x 3 2
x→∞
• Stationäre Stellen
x→∞
−−−→ ∞ .
√
f ′ !
(x) = 0 ↔ 3x 2 4
− 4 = 0 ⇒ x 4/5 = ±
3 .
√
Aufgrund des Definitionsbereiches haben wir nur die stationäre Stelle x 1 = −
• Extrempunkte
√ ) 4√
f
(−
′′ 4 3 5
3
= − < 0, d.h. bei
2
4
3 .
( √ )
4
−
3 , 4
4√ ≈ (−1,15; 1,75) ist ein lokales Maximum.
3 3
Mathematik Vorkurs P2
✞ ☎
✝133 ✆
Dipl. Math. Stefan Podworny