Estudio de parámetros atómicos y moleculares en ... - FaMAF

Capítulo 4: Estudio de Parámetros Experimentales _________________________________________________
Es conveniente definir un parámetro a adimensional que de idea de la función dominante en la
convolución. Dicho parámetro se define como:
a = ln2γ / γ
(4.10)
De este modo, cuando a tiende a cero la contribución gaussiana se vuelve muy importante. Definiendo
además las variables adimensionales y y b como:
L
G ;
b ln x /
G
y = ln 2 x´/ γ = 2 γ
(4.11)
G
la ecuación (4.9) puede reescribirse de la siguiente manera:
a
V(
a,b)
=
3
γ π
L
2
∞
∫
/ 2
−∞
exp
( y − b)
2
( − y )
2
+ a
2
dy
(4.12)
De acuerdo a publicaciones previas (126; 127), derivando la ecuación (4.12) se obtiene la
siguiente ecuación diferencial:
2
2
2
[ 4b
+ 2 (2 a + 1) ]
d V ( a,b)
dV ( a,b)
4a
+ 4 b +
V ( a,b)
=
(4.13)
2
db
db
π γ
La solución de la ecuación (4.13), dada por Roston y Obaid (126) es:
2
L
a ⎧
V ( a,
b)
= ⎨e
γ π ⎩
L
2
2
a −b
erfc
⎡
⎢cos
⎢⎣
( a) cos( 2ab)
b
−
2
2
u
u
( 2ab) e sen( 2au) du − sen( 2ab) e cos( 2au)
∫
0
2
e
π
2
−b
b
∫
0
⎤⎪⎫
du⎥⎬
⎥⎦
⎪⎭
(4.14)
donde erfc denota la función error complementaria. Para evitar problemas de ineficiencia relacionados
con el cálculo de dos integrales, la expresión (4.14) puede reescribirse en términos de una única
integral usando identidades trigonométricas, como ha sido expresado por Zaghloul (128):
a ⎧
V ( a,b)
= ⎨e
γ π ⎩
L
2
2
a −b
erfc
2
b
∫
π 0
2 2
−
( ) ( ) ( b −u
a cos 2ab
+ e ) sen[ 2a( b − u)
]
En este trabajo seguimos una estrategia alternativa; las integrales de la ecuación (4.14) fueron
expresadas en términos de la función error erf con argumento complejo, como se muestra en la
ecuación siguiente:
+ sen
( 2ab) [ Im( erf ( a + ib)
)]}
⎫
du⎬
⎭
a e
V ( a,b)
= { erfc ( a) cos( 2ab) + cos( 2ab) [ erf ( a) − Re( erf ( a + ib)
)]
γ π
(4.15)
L
2 2
a −b
La ecuación (4.15) no involucra integrales explícitas, pero está expresada en términos de la
función error, la cual está disponible en la mayoría de los programas de cálculo. Si se requiere una
expresión en términos de argumentos reales, se puede usar alguna expansión en serie de la función
error con argumento complejo, por ejemplo la expansión dada por Abramowitz y Stegun (129):
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