DESARROLLO ECONÓMICO SOSTENIBLE, RELACIONES ...

APÉNDICE 2
EVOLUCIÓN DEL MODELO DE HOTELLING 121
a. Se parte de las siguientes suposiciones:
-el precio es una función conocida del tiempo, p(t)
-se conocen las existencias del recurso en el yacimiento, q.
-los costos de extracción son nulos
-la cantidad extraída no influye en el precio.
A través de la determinación del momento en el que el valor actual neto, VAN, de la inversión
efectuada es máximo para un tipo de descuento i y una acumulación continua de intereses, se
llega a definir el momento en el que se debe comenzar la extracción comercial del yacimiento.
Veamos:
VAN = qp(t)e 'it
max VAN;
d VAN
dt
' -it 'it
= qp (t)e − iqp(t)e
p' (t) - i p (t) = 0 (1)
En rigor para que el VAN alcance su máximo, se deberán cumplir las condiciones de segundo
orden:
2
d VAN
2
= p ′′ (t) - ip ′ (t) 〈 0
dt
Como se observa, cuando la tasa de cambio del precio, ′ p (t)
es inferior al tipo de interés i,
p(t)
conviene extraer el recurso. En caso contrario, se deja sin extraer en el yacimiento.
Acá es fácil visualizar la relación entre el tipo de descuento y el agotamiento óptimo del
recurso: si el tipo de descuento sube también lo hará el costo marginal de no extraer, y si baja
el primero también hará disminuir el segundo. Formalizando:
Al diferenciar la condición de equilibrio de Hotelling, (1) se tiene que [p ′′ (t) - ip ′ (t)] dt = p(t)di
dt
di =
P(t)
P ′′ (t) - ip ′ (t)
En donde se ve que p (t) > 0 , puesto que es un precio, y que p"(t) - i p' (t) < 0, puesto que se
trata de la condición de segundo orden. Por tanto, dt
〈0 con lo que se corrobora la relación
di
inversa entre el tiempo de agotamiento y el tipo de interés.
b. Si se supone que los costos de extracción no son nulos sino constante e iguales a c ,
entonces:
-it −it
VAN = qp(t)e - cq e
121 Explicación basada en ROMERO, C., p 70-90, 1994.
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