Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

98 RESIDUOS CUADRÁTICOS
Como p2 − 1
8
es par,
� �
2
= (−1)
p
(p2−1)/8 = 1 si p ≡ −1 (mod 8).
La idea de la congruencia es muy útil: es más fácil verificar la congruencia que calcular la potencia.
EJEMPLO 6.12
(1) ¿Es 2 residuo cuadrático módulo 97?
Solución: Sí,
� �
2
= 1 pues 97 ≡ 1 (mod 8)
97
(2) ¿Es 2 residuo cuadrático módulo 229?
Solución: No,
� �
2
= −1 pues 229 ≡ 3 (mod 8)
97
6.3.2 Ley de Reciprocidad Cuadrática.
� � � �
p q
La ley de reciprocidad cuadrática establece una sorprendente relación entre y . Esta
q p
ley fue conjeturada, basándose en evidencia numérica, por Euler en 1783 y Lagrange en 1785.
Legendre le dio la forma actual a esta ley, pero no pudo dar una prueba completa. La primera
prueba rigurosa fue dada por Gauss en a la edad de 18 años. Hasta el 2004 se conocían 190
pruebas diferentes. Gauss llamó a este teorema “Aureum Theorema” (el Teorema de oro). Su
importancia en la teoría de números no tienen discusión. Al respecto, Hecke afirmó al respecto:
“La teoría de números moderna comenzó con el descubrimiento de la Ley de Reciprocidad
Cuadrática”.
La prueba del teorema sigue es la tercera prueba que dio Gauss. La prueba se basa e un argumento
geométrico.
� �
4 · q
Primero veamos un ejemplo concreto. Sea p = 11 y q = 7. El número = 2 cuenta la
p
4 · q
cantidad de números ≤ . Geométricamente corresponde a la cantidad de pares ordenados
p
con componentes enteros (llamados punto reticulares) sobre la parte positiva de la recta x = 4 y
por debajo de la recta y = q
4 · q
x. Estos puntos son de la forma (4,y) con y ≤
p p .
(p−1)/2 � �
k · q
La suma ∑ = 7 corresponde a los puntos reticulares en el polígono ABCD de la
p
k=1
figura (6.2).