Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Solución de los Ejercicios
Soluciones del Capítulo 2
2.1 6|2 · 3 pero 6 ∤ 2 y 6 ∤ 3
2.2 si d|a ∧ d|(a + 1) =⇒ d|(a + 1 − a) Luego, d|1 =⇒ d = ±1.
2.3 Si kd|n =⇒ n = k ′ kd =⇒ d|n (⇒⇐)
2.4 Como d|a y d|b =⇒ d|(a − bq) =⇒ d|r
2.5 Como a − r = bq y 0 ≤ r < |b|, bq debe ser uno de los números {a, a − 1, ..., a − |b| + 1}
2.6 d|a y d|(ab + 2) =⇒ d|ab ∧ d|(ab + 2) =⇒ d|2 =⇒ d = 1, ∨ d = 2, pero como a es impar,
d = 1.
2.8 a b
a b
, ∈ Z. Por Bezout, d = ax + by =⇒ 1 = x + . Esta es la mínima combinación lineal
d d d d
positiva de (a/d ∧ b/d), por lo tanto mcd(a/d, b/d) = 1.
2.9 Sean d = mcd(ab,m), d1 = mcd(a,m), d2 = mcd(b,m). Por Bezout,
⎧
⎨ ax1 + my1 = d1
⎩
bx2 + my2 = d2
=⇒ abx + my = d1d2 =⇒ d|d1d2
2.10 Sean d = mcd(ab,m), d1 = mcd(a,m), d2 = mcd(b,m).
Por Bezout, ax + by = 1, luego axm + bym = m. Como d1 es múltiplo de a y d2 es múltiplo de
m, se sigue axm = k1d1d2. De manera análoga, bym = k2d1d2.
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