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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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112 ESTIMACIONES,

112 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS ral, tomado al azar, sea divisible por 5 es 1/5?. Por ahora, lo único que podemos decir es que este experimento sugiere que la densidad (o la proporción) de los múltiplos de 5 en {1,2,...,n} parece ser 1/5 conforme n se hace grande. Generalizando, Definición 7.2 Sea E un conjunto de enteros positivos con alguna propiedad especial y sea E(N) = E � {1,2,..., N}. La densidad (o medida relativa) de E se define como siempre y cuando este límite exista. E(n) D[E] = lim n→∞ n ¿Es esta densidad una medida de probabilidad en el modelo axiomático?. No, porque resulta no ser aditiva, como el modelo exige (ver [10]). Aunque en el esquema frecuentista se puede ver la densidad como la “probabilidad” de que un entero positivo, escogido aleatoriamente, pertenezca a E, aquí identificamos este término con densidad o proporción. Tenemos, Teorema 7.4 La densidad de los naturales divisibles por p es 1 p , es decir, si Ep es el conjunto de enteros positivos divisibles por p, entonces Ep(n) 1 D[Ep] = lim = n→∞ n p Prueba: Para calcular el límite necesitamos una expresión analítica para Ep(n). Como existen p, r tales que n = pk + r con 0 ≤ r < p, entonces kp ≤ n < (k + 1) p, es decir, hay exactamente n − r k múltiplos positivos de p que son menores o iguales a n. Luego Ep(n) = k = . Por lo p Ep(n) (n − r)/p 1 r 1 tanto, D[Ep] = lim = lim = lim − = n→∞ n n→∞ n n→∞ p pn p Un hecho de gran importancia es este: Si p,q son primos, ser divisible por p y por q son eventos � técnicamente independientes, es decir, D[Ep Eq] = D[Ep]D[Eq]. Una de sus consecuencias (no tan inmediata) es que los divisores primos de n se distribuyen de acuerdo a la ley normal (ver [10]). 7.3 Orden de Magnitud Necesitamos un mecanismo flexible para comparar funciones. Esto es necesario, porque a menudo nos interesa reemplazar funciones complicadas con otras más simples. En la parte práctica, esto nos permite establecer términos de error en una estimación, de una manera más flexible. Para comparar dos funciones f y g, es conveniente primero definir la relación “≪” (se lee “dominada por”): Decimos que f (x) ≪ g(x) conforme x → ∞

si podemos encontrar una constante C y x0 tal que f (x) ≤ Cg(x) cuando x > x0 Para establecer esta desigualdad, a menudo es muy útil usar el hecho de que si f es creciente, entonces a ≤ b cuando f (a) ≤ f (b). A veces se puede usar la derivada para establecer que f es creciente (o decreciente) en un intervalo. EJEMPLO 7.4 Muestre que 3x 3 − x 2 + 1 ≪ x 3 conforme x → ∞ Solución: Tenemos que encontrar C y x0 tal que x 3 − x 2 + 1 ≤ Cx 3 cuando x ≥ x0. Como 1 − x 2 < 0 si x > 1, entonces 3x 3 − x 2 + 1 < 3x 3 si x > 1. Por tanto basta tomar C = 3 y x0 = 1 para que se cumpla la definición. EJEMPLO 7.5 Muestre que exp( � log(x)) ≪ x conforme x → ∞ Solución: exp(x) y log(x) son funciones crecientes, entonces exp( � log(x)) ≤ x ⇐⇒ (tomando logaritmos) � log(x) ≤ log(x) ⇐⇒ (cuadrados a ambos lados) log(x) ≤ log 2 (x), (∗) ahora, como u ≤ u 2 si u ≥ 1, la desigualdad (∗) se cumple si x > e. Por tanto, basta tomar C = 1, y x0 = e para que se cumpla la definición. O grande de Landau En general, nos interesa una manera de decir que f y g son funciones parecidas en orden excepto por un término de error dominado por una función h. Decimos que En particular, si g(x) ≡ 0, EJEMPLO 7.6 f (x) = g(x) + O(h(x)) si | f (x) − g(x)| ≪ h(x) f (x) = O(h(x)) si f (x) ≪ h(x) Observe que f (x) = O(1) significa que f es una función acotada en un intervalo ]x0, ∞[. También, usando los dos ejemplos anteriores, 3x 3 − x 2 + 1 = O(3x 3 ) y exp( � log(x)) = O(x). 113

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