Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

si podemos encontrar una constante C y x0 tal que
f (x) ≤ Cg(x) cuando x > x0
Para establecer esta desigualdad, a menudo es muy útil usar el hecho de que si f es creciente,
entonces a ≤ b cuando f (a) ≤ f (b). A veces se puede usar la derivada para establecer que f es
creciente (o decreciente) en un intervalo.
EJEMPLO 7.4
Muestre que 3x 3 − x 2 + 1 ≪ x 3 conforme x → ∞
Solución: Tenemos que encontrar C y x0 tal que x 3 − x 2 + 1 ≤ Cx 3 cuando x ≥ x0.
Como 1 − x 2 < 0 si x > 1, entonces 3x 3 − x 2 + 1 < 3x 3 si x > 1. Por tanto basta tomar
C = 3 y x0 = 1 para que se cumpla la definición.
EJEMPLO 7.5
Muestre que exp( � log(x)) ≪ x conforme x → ∞
Solución: exp(x) y log(x) son funciones crecientes, entonces
exp( � log(x)) ≤ x ⇐⇒ (tomando logaritmos)
� log(x) ≤ log(x) ⇐⇒ (cuadrados a ambos lados)
log(x) ≤ log 2 (x), (∗)
ahora, como u ≤ u 2 si u ≥ 1, la desigualdad (∗) se cumple si x > e. Por tanto, basta tomar
C = 1, y x0 = e para que se cumpla la definición.
O grande de Landau
En general, nos interesa una manera de decir que f y g son funciones parecidas en orden
excepto por un término de error dominado por una función h. Decimos que
En particular, si g(x) ≡ 0,
EJEMPLO 7.6
f (x) = g(x) + O(h(x)) si | f (x) − g(x)| ≪ h(x)
f (x) = O(h(x)) si f (x) ≪ h(x)
Observe que f (x) = O(1) significa que f es una función acotada en un intervalo ]x0, ∞[.
También, usando los dos ejemplos anteriores, 3x 3 − x 2 + 1 = O(3x 3 ) y exp( � log(x)) =
O(x).
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