Views
5 years ago

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

88 RESIDUOS CUADRÁTICOS

88 RESIDUOS CUADRÁTICOS En principio podemos decidir si la congruencia x 2 ≡ a (mod p) tiene solución o no, por ensayo y error. La teoría que sigue está orientada a buscar respuestas a preguntas como ¿cuándo es soluble o no, esta congruencia?, si es soluble, ¿cuántas soluciones tiene módulo p?. La teoría requiere trabajar con la representación simétrica de Zp. ⎧ ⎪⎨ Zp = ⎪⎩ � − p − 1 ,...,−1,0,1,... 2 � p − 1 − 2 � p − 1 2 � p − 1 + 1,...,−1,0,1,... 2 si p es impar si p es par En las aplicaciones, el caso común es cuando p es impar. La regla de conversión es sencilla: EJEMPLO 6.2 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Consideremos Z7, p − 1 2 p − 1 2 i −→ i si 0 ≤ i ≤ + k −→ − p − 1 2 = 3. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0, 1, 2, 3, −3, −2, −1 p − 1 , 2 p − 1 + k − 1 con 1 ≤ k ≤ . 2 Si volvemos a calcular como en el ejemplo (6.1), pero esta vez usando la representación simétrica, se nos hará evidente nuestro siguiente teorema, Tenemos, a −3 −2 −1 1 2 3 a 2 mod 7 2 4 1 1 4 2 ←− residuos cuadráticos mod 7 Tabla 6.2 Residuos cuadráticos módulo 7 (−1) 2 = 1 2 ≡ 1 mod 7 (−2) 2 = 2 2 ≡ 4 mod 7 (−3) 2 = 3 2 ≡ 2 mod 7 Teorema 6.1 Sea p primo impar y mcd(a, p) = 1. (i.) x 2 ≡ a (mod p) no tiene solución o tiene exactamente dos soluciones mod p, (ii.) Hay exactamente (p − 1)/2 residuos cuadráticos 1 2 , 2 2 , ...,((p − 1)/2) 2 ,

y (p − 1)/2 residuos no cuadráticos. Prueba: (i.) Si x 2 ≡ a (mod p) y y 2 ≡ a (mod p) entonces p|x 2 − y 2 =⇒ p|x + y ∨ p|x − y =⇒ x ≡ ±y (mod p). (ii.) Sea Zp = {−(p − 1)/2,...,−1,0,1,...,(p − 1)/2}. Entonces tenemos (p − 1)/2 residuos cuadráticos a j con (−j) 2 = j 2 ≡ a j (mod p), −(p − 1)/2 ≤ j ≤ (p − 1)/2. Claramente son residuos cuadráticos distintos puesto que i �≡ j (mod p) si |i| �= |j| e i, j ∈ {−(p − 1)/2,...,−1,0,1,...,(p − 1)/2} (pues 0 < |i − j| < i + j < p − 1). Hay exactamente (p − 1)/2 residuos cuadráticos pues ya agotamos los cuadrados en Zp. En el caso p = 2 el teorema no aplica: sólo hay un residuo cuadrático módulo 2 : 1 2 ≡ 1 (mod 2). 6.2 Criterio de Euler Euler divisó un criterio sencillo, para decidir si un número es residuos cuadrático módulo p. El criterio no es muy práctico computacionalmente pero si de gran valor teórico. La idea es la siguiente: Si a es residuo cuadrático módulo p, hay un entero x tal que a ≡ p x 2 , entonces, por el teorema pequeño de Fermat se tiene es decir, si a es residuo cuadrático módulo p, EJEMPLO 6.3 a (p−1)/2 ≡ (x 2 ) (p−1)/2 ≡ x p−1 ≡ 1 (mod p), a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p). Sea p = 11. Vamos a calcular todas las potencias a (p−1)/2 módulo p en representación estándar y en representación simétrica, a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a (p−1)/2 mod p 1 10 1 1 1 10 10 10 1 10 ← estándar a (p−1)/2 mod p 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 ← simétrica Tabla 6.3 Residuos cuadráticos y no cuadráticos módulo p = 11 Teorema 6.2 (Criterio de Euler) Sea p primo impar y mcd(a, p) = 1, entonces Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) 89

Edición de textos científicos con LaTeX - TEC Digital - Tecnológico ...
El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital
1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Replanteamiento de la Conjetura de Goldbach - TEC-Digital
Cómo hacer Transparencias con la clase Beamer de - TEC-Digital ...
Cálculo Superior. Vectores, rectas y planos. - TEC Digital ...
La génesis y el desarrollo de un hecho científico - TEC-Digital
Versión PDF - TEC-Digital - Tecnológico de Costa Rica
Teoria Numeros C Ivorra Castillo
Programación Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis ... - TEC-Digital
Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...
Tema 4. Teoría de los Números - it/aut/UAH