Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

y (p − 1)/2 residuos no cuadráticos.
Prueba: (i.) Si x 2 ≡ a (mod p) y y 2 ≡ a (mod p) entonces p|x 2 − y 2 =⇒ p|x + y ∨ p|x − y =⇒
x ≡ ±y (mod p).
(ii.) Sea Zp = {−(p − 1)/2,...,−1,0,1,...,(p − 1)/2}. Entonces tenemos (p − 1)/2 residuos cuadráticos
a j con (−j) 2 = j 2 ≡ a j (mod p), −(p − 1)/2 ≤ j ≤ (p − 1)/2. Claramente son residuos
cuadráticos distintos puesto que i �≡ j (mod p) si |i| �= |j| e i, j ∈ {−(p − 1)/2,...,−1,0,1,...,(p −
1)/2} (pues 0 < |i − j| < i + j < p − 1). Hay exactamente (p − 1)/2 residuos cuadráticos pues
ya agotamos los cuadrados en Zp.
En el caso p = 2 el teorema no aplica: sólo hay un residuo cuadrático módulo 2 : 1 2 ≡ 1 (mod 2).
6.2 Criterio de Euler
Euler divisó un criterio sencillo, para decidir si un número es residuos cuadrático módulo p. El
criterio no es muy práctico computacionalmente pero si de gran valor teórico.
La idea es la siguiente: Si a es residuo cuadrático módulo p, hay un entero x tal que a ≡ p x 2 ,
entonces, por el teorema pequeño de Fermat se tiene
es decir, si a es residuo cuadrático módulo p,
EJEMPLO 6.3
a (p−1)/2 ≡ (x 2 ) (p−1)/2 ≡ x p−1 ≡ 1 (mod p),
a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p).
Sea p = 11. Vamos a calcular todas las potencias a (p−1)/2 módulo p en representación
estándar y en representación simétrica,
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a (p−1)/2 mod p 1 10 1 1 1 10 10 10 1 10 ← estándar
a (p−1)/2 mod p 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 ← simétrica
Tabla 6.3 Residuos cuadráticos y no cuadráticos módulo p = 11
Teorema 6.2 (Criterio de Euler) Sea p primo impar y mcd(a, p) = 1, entonces
Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F.
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