Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

174 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN.
con v k ∈ Z mk , k = 0,1,...,n.
Si m es impar y positivo, la representación simétrica de Zm es
Zm = {−
m − 1
,...,−1,0,1,...,
2
m − 1
}
2
La representación de u como una combinación lineal de “base mixta” tiene sentido si cada v k ∈
Z mk tiene el mismo tipo de representación, es decir siempre (para cada k ) Zm k = {0,1,...,m k − 1}
o siempre Zm k = {v : −m k/2 < v ≤ m k/2}.
Se puede probar que u siempre se puede representar en la forma (9.2) y, escogida un representación
igual para todos los Zm k , los coeficientes v i son únicos.
Ejemplo 9.7 Sean m0 = 99, m1 = 97, y m2 = 95. Si u = 639985,
u = 49 + 62 · (m0) + 66 · (m0 m1).
Encontrar u es lo mismo que encontrar v0,v1,...,vn.
Para i = 0, de la representación (9.2) se deduce u ≡ v0 (mod m0). Así que u ≡ u0 (mod m0) tiene
solución u = u0.
Para k ≥ 1, si se han obtenido los coeficientes v0,v1,...,v k−1, entonces de (9.2),
u ≡ v0 + v1(m0) + ... + v k
� �
k−1
∏ mi (mod mk) i=0
satisface el caso i = k del sistema de congruencias u ≡ u i (mod m i ), 0 ≤ i ≤ n, si se toma v k de
tal manera que
v0 + v1(m0) + ... + v k
� �
k−1
∏ mi ≡ uk (mod mk) i=0
Esta ecuación la podemos resolver para un único v k ∈ Zm k (k ≥ 1),
v k ≡
�
u k −
�
v0 + v1(m0) + ... + v k−1
�
k−2
∏ mi i=0
��� � �
k−1
−1
∏ mi (mod mk) i=0
El inverso se puede tomar pues ∏ k−1
i=0 m i y m k son primos relativos.
En el algoritmo que viene a continuación, la solución u entra “representada” en términos de
los n + 1 residuos u0,u1,...,un respecto a los n + 1 módulos m0,m1,...,mn. Luego se pasa a una