Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

90 RESIDUOS CUADRÁTICOS
(1) a es residuo cuadrático ⇐⇒ a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p),
(2) a no es residuo cuadrático ⇐⇒ a (p−1)/2 ≡ −1 (mod p),
Prueba: Para la demostración usamos el teorema pequeño de Fermat y logaritmo discreto.
Parte (1).
“⇒”: Si a es un residuo cuadrático módulo p, existe x ∈ Z tal que x 2 ≡ a (mod p.) Ahora
aplicamos el teorema pequeño de Fermat,
1 ≡ x p−1 mod p
≡ (x 2 ) (p−1)/2 mod p
≡ a (p−1)/2 mod p
“⇐”: Si a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p), sea b una raíz primitiva de p y sea t ∈ Z tal que a ≡ b t (mod p).
Entonces,
Parte (2).
bt ≡ a mod p
=⇒ bt(p−1)/2 ≡ a (p−1)/2 ≡ 1 mod p
=⇒ Indb(bt(p−1)/2 ) ≡ Indb(1) ≡ 0 mod p
=⇒ t(p − 1)/2 ≡ 0 mod (p − 1)
=⇒
=⇒
t(p − 1)
�
b
= 2k(p − 1), i.e. t es par.
t/2� 2
≡ bt ≡ a (mod p), i.e. a es residuo cuadrático módulo p.
Para probar esta parte se suficiente observar que
(a (p−1)/2 − 1)(a (p−1)/2 + 1) = a (p−1)/2 − 1 ≡ 0 (mod p).
Así, si a no es residuo cuadrático módulo p, la única opción que queda es a (p−1)/2 ≡ −1 (mod p).
La otra implicación es consecuencia de la parte (1).
El criterio de Euler, en su versión cruda, es útil en el cálculo directo si p es pequeño, dado que
tenemos que calcular la potencia a (p−1)/2 .
EJEMPLO 6.4
¿Es a = 72 residuo cuadrático módulo 229?
Solución: Tenemos que calcular 72 114 mod 229. Para simplificar el cálculo descomponemos
en potencias de 2,