Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

52 CONGRUENCIAS
EJEMPLO 3.20
Resolver 12x ≡ 48 (mod 18).
Solución: Una solución particular es x = 1, ahora, como mcd(12,18) = 6, la solución general
es x ≡ 1 (mod 3), es decir, x = 1 + 3t. La ecuación tiene seis soluciones módulo 18, a
saber x = 1, 4, 7, 10, 13 y 16.
EJEMPLO 3.21
La ecuación 2x ≡ 3 (mod 4) o tiene solución pues mcd(2,4) = 2 ∤ 3
3.7 Teorema Chino del resto
Un ejemplo concreto de un sistema de congruencias lineales se describe en el ejemplo que sigue,
EJEMPLO 3.22
⎧
⎨
Calcule x tal que
⎩
x ≡ 1 (mod 3),
x ≡ 2 (mod 5),
x ≡ 3 (mod 7).
Solución: Hay un número infinito de soluciones para este sistema, por ejemplo x = 52,−53,157,...
como se puede verificar rápidamente. Una manera de resolver este sistema es despejar y
sustituir x hasta que la última congruencia se a usada,
x ≡ 1 (mod 3) =⇒ x = 1 + 3t1
=⇒ 1 + 3t1 ≡ 2 (mod 5)
=⇒ 3t1 ≡ 1 (mod 5)
=⇒ t1 ≡ 2 (mod 5) pues 3 · 2 ≡ 1 (mod 5)
=⇒ t1 = 2 + 5t2
=⇒ x = 7 + 15t2
=⇒ 7 + 15t2 ≡ 3 (mod 7)
=⇒ 15t2 ≡ 3 (mod 7)
=⇒ t2 ≡ 3 (mod 7) pues 15 · 1 ≡ 1 (mod 7)
Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F.
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