Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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40 CONGRUENCIAS Solución: Existe k,k ′ ∈ Z tal que a = mk + b y c − ad = mk ′ , entonces c − ad = c − (mk + b)d = mk ′ =⇒ c − bd = m(k ′ + kd) =⇒ c ≡ bd (mod m). ≡ 10 0 ≡ 10 0 ≡ 10 7 � �� 3. d ≡ 8 + 2+ 3 + 2 + 5+ 5 + 2 (mod 10) =⇒ d ≡ 7 (mod 10) 4. Calcular 9 5 mod 5 Solución: 9 5 ≡ 4 5 (mod 5) pues 9 ≡ 4 (mod 5); ahora hacemos una reducción a potencias más pequeñas: 4 5 ≡ 4 4+1 ≡ (4 2 ) 2 · 4 ≡ 1 2 · 4 ≡ 4 (mod 5). Por tanto, 9 5 mod 5 = 4. EJEMPLO 3.4 Calcular el resto de dividir 15 196 por 13. Solución: La idea es descomponer 15 196 en potencias más pequeñas. Si r es el resto buscado, 15 196 ≡ r (mod 13). 15 196 ≡ 2 196 mod 13, pues 15 ≡ 2 (mod 13), ≡ � 22·2�7·7 mod 13, pues 196 = 2 · 2 · 7 · 7, ≡ � 37�7 mod 13, pues 24 = 16 ≡ 3 (mod 13), �7 mod 13, pues � 33�2 · 3 = 37 , ≡ � �3 3 � 2 · 3 ≡ � 1 2 · 3 � 7 mod 13, pues 3 3 = 27 ≡ 1 (mod 13), ≡ 3 7 mod 13 ≡ 3 mod 13 pues 3 7 ≡ 3 (mod 13). Así, el resto de dividir 15 196 por 13 es 3. EJEMPLO 3.5 Resolver 4x ≡ 8 (mod 12) con x ∈ {0,1,2,...,11}. Solución: Podríamos resolver esta congruencia por ensayo y error, pero la vamos a resolver usando la propiedad 7 del teorema ( 3.2). 4x ≡ 8 mod 12, x ≡ 2 mod 3 por el teorema 3.2, 7; Luego, los x ∈ {0,1,2,...,12} que dejan resto 2 al dividir por 3 son x = 2,5,8,11. EJEMPLO 3.6
Calcular el resto de la división de 12 201 por 13, es decir, calcular 12 201 mod 13 Como 12 ≡ −1 (mod 13) =⇒ 12 201 ≡ (−1) 201 (mod 13). Entonces, por transitividad 12 201 ≡ 12 (mod 13). Esto dice que 12 201 mod 13 = 12 mod 13 = 12 EJEMPLO 3.7 Calcular 13 300 mod7. Aunque 13 ≡ 5 (mod 7) es mejor iniciar con 13 ≡ −2 (mod 7) pues de esta congruencia obtenemos 13 3 ≡ −8 (mod 7) y −8 ≡ 1 (mod 7). Así, 13 300 ≡ 1 (mod 7) =⇒ 13 300 mod7 = 1 mod 7 = 1. 3.2 Calendarios: ¿Qué día nació Ud?. Supongamos que queremos saber el día de la semana correspondiente a una fecha dada: Por ejemplo, ¿qué día fue el 9 de mayo de 1973? En varios libros se hace un análisis de como resolver este problema, por ejemplo en [?]; aquí solo vamos a dar la solución, según el calendario Gregoriano. Primero debemos numerar los días y los meses, como se muestra en en la tabla que sigue (a febrero se le asigna el 12; febrero es especial por ser el mes al que se agrega un día en año bisiesto). Domingo = 0 Marzo = 1 Octubre = 8 Lunes = 1 Abril = 2 Noviembre = 9 Martes = 2 Mayo = 3 Diciembre = 10 Miércoles = 3 Junio = 4 Enero = 11 Jueves = 4 Julio = 5 Febrero = 12 Viernes = 5 Agosto = 6 Sábado = 6 Setiembre = 7 Tabla 3.1 Ahora, sea f = fecha, m = mes, a = año, s = siglo y n = años en el siglo. Por ejemplo, si tenemos la fecha: abril 1, 1673 entonces: f = 1, m = 2, a = 1673 = 100s + n donde s = 16 y n = 73. Finalmente, si d denota el día de la semana correspondiente a la fecha ( f ,m, a), entonces � � 13m − 1 � s � � n � d ≡ f + − 2s + n + + (mod 7) 5 4 4 Ahora ya puede calcular que día nació Ud. 41
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