Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

76 POTENCIAS mod m
4.20 Muestre el teorema “pequeño” de Fermat usando el teorema de Euler.
4.21 Muestre el teorema de Euler usando el teorema de Carmichael.
4.22 Muestre que si n es par entonces ϕ(2n) = 2ϕ(n) y que si n es impar entonces ϕ(2n) =
2ϕ(n). Ayuda: Teorema (4.8).
4.23 Calcule ϕ(25) usando el teorema (5.2).
4.24 Factorizar n = 2337 y calcular ϕ(n) y λ(n)
4.25 Calcule las raíces (si hubiera) de P(x) = x 5 + 1 módulo 5
4.26 Calcule las raíces (si hubiera) de P(x) = x 5 − 1 módulo 5
4.27 Calcule 96 −1 módulo 97. Luego calcule el resto de dividir 95! por 97. Ayuda: Fermat y
Wilson.
4.28 Sea p primo impar y mcd(a, p) = 1. Mostrar que a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p) o a (p−1)/2 ≡
−1 (mod p). Ayuda: Usar la tercera fórmula notable y el teorema de Fermat.
4.29 Resuelva 7x ≡ 1 (mod 2 6 · 3 · 5 · 17) usando primero el teorema pequeño de Fermat y luego
usando el teorema de Carmichael.
4.30 Mostrar que si p es primo, entonces (x1 + x2 + · · · + xn) p ≡ x p
x i ∈ Z.
4.31 Sean mcd(a,b) = 1 y S = a ϕ(b) + b ϕ(a) . Muestre que S ≡ 1 (mod ab)
1
+ xp
2 + · · · + xp n (mod p) si
4.32 Use el teorema “pequeño” de Fermat para probar que si p es primo y mcd(p,n) = 1 y
p|4n 2 + 1, entonces p ≡ 1 (mod 4). Ayuda: Muestre que p �≡ 3 (mod 4) por contradicción: Si
p = 4k + 1 y si y = 2n, y 2 ≡ −1 (mod p) luego, como mcd(p,y) = 1, aplique Fermat.
4.33 Muestre que si p es primo y mcd(p,n) = 1 y p|n 2 + 1, entonces p ≡ 1 (mod 4) o p = 2.
4.34 Muestre que en Z8, el polinomio P(x) = x 2 − 1 tiene 4 raíces: x = 1,3,5,7, es decir,
P(1) ≡ 0 (mod 8), etc. ¿Contradice esto el teorema (4.15)?
4.35 Muestre el teorema “pequeño” de Fermat usando el teorema del binomio. Ayuda: x i = 1.
4.36 Muestre que si a ≡ 1 (mod 2), entonces a 2 ≡ 1 (mod 2 3 ). Ayuda: a = 2h + 1, eleve al
cuadrado y observe que h(h + 1) es par.
4.37 Muestre que si a2 ≡ 1 (mod 23 ) entonces a22 ≡ 1 (mod 24 ).
4.38 Use inducción para demostrar que si α > 2, entonces a 2α−2
4.39 Verifique que si α > 2, entonces a 1 2 ϕ(2α ) ≡ 1 (mod 2 α ).
4.40 Muestre que si n = ∏ k i=1 pα i
i , p i primo; entonces λ(p α i
i )|λ(n)
4.41 Muestre que λ(n)|ϕ(n)
4.42 Muestre que λ(n) = ϕ(n) si n = 1,2,4, p α ,2p α
≡ 1 (mod 2 α ).