Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

=⇒ t2 = 3 + 7t
=⇒ x = 7 + 15 · (3 + 7t) = 52 + 105t, t ∈ Z.
Así, x = 52 + 105t, t ∈ Z; es la solución general del sistema. Aquí debemos notar que
105 = 3 · 5 · 7, es decir, la solución es única módulo 3 · 5 · 7.
Teorema 3.7 (Teorema Chino del resto) Consideremos el sistema lineal de congruencias
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
. . .
x ≡ a k (mod m k)
con mcd(m i,m j) = 1, 1 ≤ i, j ≤ k; entonces, si M = m1 · m2 · · · m k y M i = M/m i, el sistema tiene
solución única x = a1M1y1 + a2M2y2 + · · · + a kM ky k, módulo M.
Prueba: La prueba 2 es en dos partes, primero se muestra una solución de manera explícita y
luego se prueba que es única.
Sean M = m1 · m2 · · · m k y M i = M/m i, 1 ≤ i ≤ k. Como los módulos son primos relativos dos a
dos, mcd(M i,m i) = 1 para cada i. También, M i ≡ 0 (mod m j) j �= i.
Como mcd(M i,m i) = 1, entonces M iy i ≡ 1 (mod m i) tiene solución única y i ≡ M −1
i (mod m i).
Sea x = a1M1y1 + a2M2y2 + · · · + a kM ky k. Vamos a mostrar que x es solución del sistema de
congruencias.
x =
≡
k
∑
i=1
i�=j
k
∑
i=1
i�=j
a iM iy i + a jM jy j
a i · 0 · y i + a j · 1 (mod m j)
≡ 0 + a j (mod m j)
≡ a j (mod m j), 1 ≤ j ≤ k
Por tanto, x satisface todas las congruencias del sistema, es decir, es una solución del sistema.
2 Para seguir la prueba debemos recordar que si m1,m2,...,m k son primos relativos dos a dos, entonces
mcm(m1,m2,...,m k) = m1 · m2 · · · m k y si m1,m2,...,m k, a ∈ Z + y m i|a, i = 1,2,...,k; entonces mcm(m1,m2,...,m k)|a.
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