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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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52 CONGRUENCIAS EJEMPLO

52 CONGRUENCIAS EJEMPLO 3.20 Resolver 12x ≡ 48 (mod 18). Solución: Una solución particular es x = 1, ahora, como mcd(12,18) = 6, la solución general es x ≡ 1 (mod 3), es decir, x = 1 + 3t. La ecuación tiene seis soluciones módulo 18, a saber x = 1, 4, 7, 10, 13 y 16. EJEMPLO 3.21 La ecuación 2x ≡ 3 (mod 4) o tiene solución pues mcd(2,4) = 2 ∤ 3 3.7 Teorema Chino del resto Un ejemplo concreto de un sistema de congruencias lineales se describe en el ejemplo que sigue, EJEMPLO 3.22 ⎧ ⎨ Calcule x tal que ⎩ x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7). Solución: Hay un número infinito de soluciones para este sistema, por ejemplo x = 52,−53,157,... como se puede verificar rápidamente. Una manera de resolver este sistema es despejar y sustituir x hasta que la última congruencia se a usada, x ≡ 1 (mod 3) =⇒ x = 1 + 3t1 =⇒ 1 + 3t1 ≡ 2 (mod 5) =⇒ 3t1 ≡ 1 (mod 5) =⇒ t1 ≡ 2 (mod 5) pues 3 · 2 ≡ 1 (mod 5) =⇒ t1 = 2 + 5t2 =⇒ x = 7 + 15t2 =⇒ 7 + 15t2 ≡ 3 (mod 7) =⇒ 15t2 ≡ 3 (mod 7) =⇒ t2 ≡ 3 (mod 7) pues 15 · 1 ≡ 1 (mod 7) Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

=⇒ t2 = 3 + 7t =⇒ x = 7 + 15 · (3 + 7t) = 52 + 105t, t ∈ Z. Así, x = 52 + 105t, t ∈ Z; es la solución general del sistema. Aquí debemos notar que 105 = 3 · 5 · 7, es decir, la solución es única módulo 3 · 5 · 7. Teorema 3.7 (Teorema Chino del resto) Consideremos el sistema lineal de congruencias x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) . . . x ≡ a k (mod m k) con mcd(m i,m j) = 1, 1 ≤ i, j ≤ k; entonces, si M = m1 · m2 · · · m k y M i = M/m i, el sistema tiene solución única x = a1M1y1 + a2M2y2 + · · · + a kM ky k, módulo M. Prueba: La prueba 2 es en dos partes, primero se muestra una solución de manera explícita y luego se prueba que es única. Sean M = m1 · m2 · · · m k y M i = M/m i, 1 ≤ i ≤ k. Como los módulos son primos relativos dos a dos, mcd(M i,m i) = 1 para cada i. También, M i ≡ 0 (mod m j) j �= i. Como mcd(M i,m i) = 1, entonces M iy i ≡ 1 (mod m i) tiene solución única y i ≡ M −1 i (mod m i). Sea x = a1M1y1 + a2M2y2 + · · · + a kM ky k. Vamos a mostrar que x es solución del sistema de congruencias. x = ≡ k ∑ i=1 i�=j k ∑ i=1 i�=j a iM iy i + a jM jy j a i · 0 · y i + a j · 1 (mod m j) ≡ 0 + a j (mod m j) ≡ a j (mod m j), 1 ≤ j ≤ k Por tanto, x satisface todas las congruencias del sistema, es decir, es una solución del sistema. 2 Para seguir la prueba debemos recordar que si m1,m2,...,m k son primos relativos dos a dos, entonces mcm(m1,m2,...,m k) = m1 · m2 · · · m k y si m1,m2,...,m k, a ∈ Z + y m i|a, i = 1,2,...,k; entonces mcm(m1,m2,...,m k)|a. 53

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