Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

68 POTENCIAS mod m
Prueba: Como R = {a · r j mod m : j = 1,..., ϕ(m)} ⊆ {r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) }, solo hay que demostrar que
R tiene ϕ(m) elementos distintos y todos primos relativos con m. Así, estos ϕ(m) números son
inferiores a m y coprimos con m, entonces constituyen una permutación de r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) .
Sea i �= j con i, j ∈ {1,..., ϕ(m)}. Si a · r i ≡ a · r j (mod m) entonces, como mcd(a,m) = 1, r i ≡
r j (mod m), pero esto no puede pasar pues m > |r i − r j |.
Si mcd(a · r i ,m) > 1 entonces sea p un divisor primo de a · r i y de m. Si p|a · r i , entonces p|r i
o p|a. Pero esto no puede pasar pues si p|r i , como p|m entonces contradice el hecho de que
mcd(r i ,m = 1). Por otra parte p|a contradice el hecho de que mcd(a,m = 1).
De nuevo, vamos a dar un ejemplo antes de enunciar el teorema de Euler.
EJEMPLO 4.16
ϕ(12) = 4 cuenta los primos relativos con 12 que son inferiores a 12, es decir 1,5,7,11.
Ahora, mcd(12,35) = 1 y 35 · 1 ≡ 11 (mod 12), 35 · 5 ≡ 7 (mod 12), 35 · 7 ≡ 5 (mod 12) y
35 · 11 ≡ 1 (mod 12).
Luego,
35 4 (1 · 5 · 7 · 11) ≡ (35 · 1)(35 · 5)(35 · 7)(35 · 11) (mod 12)
pues mcd(11 · 7 · 5 · 1, 12) = 1.
≡ (11 · 7 · 5 · 1) (mod 12)
∴ 35 4 ≡ 1 (mod 12)
Teorema 4.10 (Teorema de Euler) Sea m entero positivo y mcd(a,m) = 1, entonces
a ϕ(m) ≡ 1 (mod m)
Prueba: Sea r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) ϕ(m) enteros positivos ≤ m y primos relativos con m. Entonces, por
el lema (4.3),
a ϕ(m) (r 1 · r 2 · · · r ϕ(m) ) ≡ (a · r 1 )(a · r 2 ) · · · (a · r ϕ(m) ) (mod m)
≡ (r 1 · r 2 · · · · r ϕ(m) ) (mod m)
∴ a ϕ(m) ≡ 1 (mod m)