Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

El teorema de Fermat no se puede usar, en principio como una prueba de primalidad pues
solo nos da una condición necesaria pero no suficiente. En efecto, hay números compuestos que
pasan la “prueba” del teorema de Fermat para alguna base a.
EJEMPLO 4.7
341 = 11 · 31 es compuesto, mcd(341,2) = 1 y 2 340 ≡ 1 (mod 341), es decir, 341 pasa la
“prueba de Fermat” en base 2 pero no es primo.
4 no es primo pues 2 4 �≡ 2 (mod 4).
4.3 Teorema de Euler
El teorema de Euler es uno de los grandes hitos en le desarrollo de la teoría de números. Fue
probado por Euler en 1760. Este teorema extiende el teorema “pequeño” de Fermat a un módulo
arbitrario. Antes de enunciarlo y probarlo, necesitamos algunos detalles técnicos.
Definición 4.2 Para cada n ≥ 1, denotamos con ϕ(n) la cantidad de enteros positivos menores que n y
coprimos con n. A ϕ se le llama función “phi” 4 de Euler.
EJEMPLO 4.8
ϕ(24) = 8 pues 1,5,7,11,13,17,19 y 23 son los coprimos con 24 inferiores a 24.
Recordemos que a ∈ Zm tiene inverso si mcd(a,m) = 1. Luego, ϕ(m) calcula la cantidad de
unidades en Zm. Así, si p es primo, entonces ϕ(p) = p − 1.
EJEMPLO 4.9
Sea m = 9,
a 1 2 3 4 5 6 7 8
mcd(a,9) 1 1 3 1 1 3 1 1
Figura 4.1 Unidades de Z9 : ϕ(9) = 6.
4 Euler parece que no usaba una notación funcional para esta función, él usó en algún momento la notación “πn”. Gass
introdujo la notación “ ϕ(n)” aunque también se usa “φ(n)”. Sylverter introdujo la notación “Totient(n)” que a veces
aparece en la literatura actual.
Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F.
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