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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

62 POTENCIAS mod m

62 POTENCIAS mod m Prueba: Usando lema anterior, a p−1 (1 · 2···(p − 1)) ≡ (a · 1)(a · 2) · · · (a · (p − 1)) (mod p) ≡ 1 · 2···(p − 1) (mod p) Entonces a p−1 (1 · 2···(p − 1)) ≡ 1 · 2···(p − 1) (mod p) =⇒ a p−1 ≡ 1 (mod p) pues mcd(1 · 2···(p − 1), p) = 1. Para probar la segunda afirmación solo hay que observar que si p|a, a ≡ 0 (mod p) =⇒ a p ≡ a (mod p.) EJEMPLO 4.5 Calcule manualmente el resto de dividir 24 1937 por 17. Solución: Por el teorema de Fermat, como mcd(24,17) = 1, 24 16 ≡ 1 (mod 17). Luego, como 1937 = 16 · 121 + 1, entonces 24 1937 = 24 16·121+1 = 24 16·121 24 1 ≡ 24 (mod 17), es decir, 24 1937 ≡ 7 (mod 17). EJEMPLO 4.6 La congruencia x 6 + x 4 + x − 3 ≡ 0 (mod 5) tiene las mismas soluciones que la congruencia x 2 + x − 3 ≡ 0 (mod 5) pues, por el teorema de Fermat, x 4 ≡ 1 (mod 5) y x 6 = x 4 · x 2 ≡ x 2 (mod 5) Teorema 4.5 Sea p primo y a cualquier entero tal que p ∤ a. Entonces, a p−2 es el inverso de a módulo p. Prueba: Por el teorema de Fermat, a p−1 ≡ 1 (mod p), entonces a · a p−2 ≡ 1 (mod p), es decir, a · a p−2 = 1. Corolario 4.1 Sea p > 1. Si existe a ∈ Z, mcd(a, p) = 1, tal que a p �≡ a (mod p), entonces p es compuesto. Prueba: Ejercicio.

El teorema de Fermat no se puede usar, en principio como una prueba de primalidad pues solo nos da una condición necesaria pero no suficiente. En efecto, hay números compuestos que pasan la “prueba” del teorema de Fermat para alguna base a. EJEMPLO 4.7 341 = 11 · 31 es compuesto, mcd(341,2) = 1 y 2 340 ≡ 1 (mod 341), es decir, 341 pasa la “prueba de Fermat” en base 2 pero no es primo. 4 no es primo pues 2 4 �≡ 2 (mod 4). 4.3 Teorema de Euler El teorema de Euler es uno de los grandes hitos en le desarrollo de la teoría de números. Fue probado por Euler en 1760. Este teorema extiende el teorema “pequeño” de Fermat a un módulo arbitrario. Antes de enunciarlo y probarlo, necesitamos algunos detalles técnicos. Definición 4.2 Para cada n ≥ 1, denotamos con ϕ(n) la cantidad de enteros positivos menores que n y coprimos con n. A ϕ se le llama función “phi” 4 de Euler. EJEMPLO 4.8 ϕ(24) = 8 pues 1,5,7,11,13,17,19 y 23 son los coprimos con 24 inferiores a 24. Recordemos que a ∈ Zm tiene inverso si mcd(a,m) = 1. Luego, ϕ(m) calcula la cantidad de unidades en Zm. Así, si p es primo, entonces ϕ(p) = p − 1. EJEMPLO 4.9 Sea m = 9, a 1 2 3 4 5 6 7 8 mcd(a,9) 1 1 3 1 1 3 1 1 Figura 4.1 Unidades de Z9 : ϕ(9) = 6. 4 Euler parece que no usaba una notación funcional para esta función, él usó en algún momento la notación “πn”. Gass introdujo la notación “ ϕ(n)” aunque también se usa “φ(n)”. Sylverter introdujo la notación “Totient(n)” que a veces aparece en la literatura actual. Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) 63

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