Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

EJERCICIOS 157
En general, debemos decidir un límite G en la búsqueda de divisores. Si se divide únicamente
por divisores primos ≤ G, se harían π(G) ≈ G/ln G divisiones. Si se divide por 2,
= 3/ln G
G/ln G
son divisiones útiles. Si G = 106 , tendríamos ≈ 22% divisiones útiles. En este caso, un
ciclo probando divisiones por primos únicamente es ≈ 1/0.22 = 4.6 veces más lento11 .
3 y 6k ± 1 se harían aproximadamente G/3 divisiones 10 de las cuales G/3
Cuando se juzga la rapidez de un programa se toma en cuenta el tiempo de corrida en el
peor caso o se toma en cuenta el tiempo promedio de corrida (costo de corrida del programa
si se aplica a muchos números). Como ya sabemos (por el Teorema de Mertens) hay un
porcentaje muy pequeño de números impares sin divisores ≤ G, así que en promedio,
nuestra implementación terminará bastante antes de alcanzar el límite G (el “peor caso”
no es muy frecuente) por lo que tendremos un programa con un comportamiento deseable.
Detalles de la implementación.
• Para la implementación necesitamos saber cómo generar los enteros de la forma 6k ± 1.
Alternando el −1 y el 1 obtenemos la sucesión
5, 7, 11, 13, 17, 19,...
que iniciando en 5, se obtiene alternando los sumandos 2 y 4. Formalmente, si m k = 6k − 1
y si s k = 6k + 1 entonces, podemos poner la sucesión como
7, 11, 13,...,m k, s k, m k+1, s k+1,...
Ahora, notemos que s k = m k + 2 y que m k+1 = s k + 4 = m k + 6. La sucesión es
7, 11, 13,...,m k, m k + 2, m k + 6, m k+1 + 2, m k+1 + 6,...
En el programa debemos probar si el número es divisible por 2, por 3 y ejecutamos el ciclo
p = 5;
While p ≤ G Do{
Probar divisibilidad por p
Probar divisibilidad por p + 2
p = p + 6 }
10Pues los números naturales (≤ G ) son de la forma 6k + m con m ∈ {0,1,...,5} y solo estamos considerando m = 1,5,
es decir una tercera parte.
11Aún si se almacena previamente una tabla de primos en forma compacta, esto consume tiempo [9]