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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

156 NÚMEROS PRIMOS Y

156 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN. Teorema 9.1 Si n ∈ Z + admite la factorización n = ab, con a,b ∈ Z + entonces a ≤ √ n o b ≤ √ n. Prueba: Procedemos por contradicción, si a > √ n y b > √ n entonces ab > √ n √ n = n lo cual, por hipótesis, no es cierto. Del teorema anterior se puede deducir que • Si n no tiene factores d con 1 < d ≤ √ n, entonces n es primo. • Al menos uno de los factores de n es menor que √ n (no necesariamente todos). Por ejemplo 14 = 2 · 7 solo tiene un factor menor que √ 14 ≈ 3.74166). De acuerdo al teorema fundamental de la aritmética, Cualquier número natural > 1 factoriza, de manera única (excepto por el orden) como producto de primos. Esto nos dice que la estrategia óptima de factorización sería probar con los primos menores que √ n. El problema es que si n es muy grande el primer problema sería que el cálculo de los primos de prueba duraría siglos (sin considerar los problemas de almacenar estos números). Recientemente (2005) se factorizó un número de 200 cifras 9 (RSA-200). Se tardó cerca de 18 meses en completar la factorización con un esfuerzo computacional equivalente a 53 años de trabajo de un CPU 2.2 GHz Opteron. 9.4.2 Algoritmo. Identificar si un número es primo es generalmente fácil, pero factorizar un número (grande) arbitrario no es sencillo. El método de factorización de un número N probando con divisores primos (“trial division”) consiste en probar dividir N con primos pequeños. Para esto se debe previamente almacenar una tabla suficientemente grande de números primos o generar la tabla cada vez. Como ya vimos en la criba de Eratóstenes, esta manera de proceder trae consigo problemas de tiempo y de memoria. En realidad es más ventajoso proceder de otra manera. Para hacer la pruebas de divisibilidad usamos los enteros 2, 3 y la sucesión 6k ± 1, k = 1,2,.... Esta elección cubre todos los primos e incluye divisiones por algunos números compuestos (25,35,...) pero la implementación es sencilla y el programa suficientemente rápido (para números no muy grandes) que vale la pena permitirse estas divisiones inútiles. 9 Se trata del caso más complicado, un número que factoriza como producto de dos primos (casi) del mismo tamaño.

EJERCICIOS 157 En general, debemos decidir un límite G en la búsqueda de divisores. Si se divide únicamente por divisores primos ≤ G, se harían π(G) ≈ G/ln G divisiones. Si se divide por 2, = 3/ln G G/ln G son divisiones útiles. Si G = 106 , tendríamos ≈ 22% divisiones útiles. En este caso, un ciclo probando divisiones por primos únicamente es ≈ 1/0.22 = 4.6 veces más lento11 . 3 y 6k ± 1 se harían aproximadamente G/3 divisiones 10 de las cuales G/3 Cuando se juzga la rapidez de un programa se toma en cuenta el tiempo de corrida en el peor caso o se toma en cuenta el tiempo promedio de corrida (costo de corrida del programa si se aplica a muchos números). Como ya sabemos (por el Teorema de Mertens) hay un porcentaje muy pequeño de números impares sin divisores ≤ G, así que en promedio, nuestra implementación terminará bastante antes de alcanzar el límite G (el “peor caso” no es muy frecuente) por lo que tendremos un programa con un comportamiento deseable. Detalles de la implementación. • Para la implementación necesitamos saber cómo generar los enteros de la forma 6k ± 1. Alternando el −1 y el 1 obtenemos la sucesión 5, 7, 11, 13, 17, 19,... que iniciando en 5, se obtiene alternando los sumandos 2 y 4. Formalmente, si m k = 6k − 1 y si s k = 6k + 1 entonces, podemos poner la sucesión como 7, 11, 13,...,m k, s k, m k+1, s k+1,... Ahora, notemos que s k = m k + 2 y que m k+1 = s k + 4 = m k + 6. La sucesión es 7, 11, 13,...,m k, m k + 2, m k + 6, m k+1 + 2, m k+1 + 6,... En el programa debemos probar si el número es divisible por 2, por 3 y ejecutamos el ciclo p = 5; While p ≤ G Do{ Probar divisibilidad por p Probar divisibilidad por p + 2 p = p + 6 } 10Pues los números naturales (≤ G ) son de la forma 6k + m con m ∈ {0,1,...,5} y solo estamos considerando m = 1,5, es decir una tercera parte. 11Aún si se almacena previamente una tabla de primos en forma compacta, esto consume tiempo [9]

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