Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

En efecto,
“⊆”: i n ∈ Sn tenemos dos casos. Si mcd(i,n) = 1, i n ∈ Tn. Si i n no está en forma reducida,
entonces, usando la factorización prima de i y de n, simplificamos y nos queda i n = k h con
mcd(k, h) = 1 y 1 ≤ k ≤ h. Como h|n, entonces k h ∈ T h y por tanto está en la unión de los “T d’s”.
“⊇”: Ahora si s ∈ �
d|n Td, entonces s ∈ Th para algún h|n. Por tanto, s =
d>0
j
h
y 1 ≤ j ≤ h. Si n = k ′ h, se tiene jk ′ ≤ n, así s = j
h = k′ j
k ′ h ∈ Sn.
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con mcd(j, h) = 1
Si d y d ′ son divisores distintos de n, Td ∩ Td ′ = ∅. Esto es así pues si s está en esta la intersección,
s = j i
d = d ′ =⇒ id = jd ′ y entonces, como mcd(j,d) = mcd(i,d ′ ) = 1, d|d ′ y d ′ |d. Esto
contradice que d �= d ′ .
Finalmente, |Sn| = ∑ d|n |Td|, entonces, como |Td| = ϕ(d), n = ∑ ϕ(d).
d>0
d|n
d>0
El teorema (5.2) nos da una fórmula recursiva para calcular ϕ(n). No es un fórmula adecuada
para cálculos porque requiere todos los divisores (primos y compuestos) de n
EJEMPLO 5.3
Como ϕ(1) = 1, ϕ(3) = 2 y ϕ(5) = 4, entonces
ϕ(1) + ϕ(3) + ϕ(5) + ϕ(15) = 15 =⇒ ϕ(15) = 8.
Teorema 5.3 Sea p primo y t un entero positivo. Si t ∤ (p − 1) entonces Zp no tiene elementos de orden
t. Si t|(p − 1), hay exactamente ϕ(t) elementos de orden t en Zp
Prueba: De acuerdo al teorema “pequeño” de Fermat, para cada a ∈ Zp, a �= 0, a p−1 ≡ 1 (mod p).
Luego, si a es de orden t, t|(p − 1), o lo que es lo mismo, si t ∤ (p − 1) no hay elementos de
orden t.
Para probar la segunda parte, definimos una nueva función ψ(t) : Para cada entero positivo s
que divide a p − 1, sea ψ(s) el número de elementos de orden s en Zp. Ahora, como cada
elemento en Z ∗ p tiene algún orden s que divide a p − 1, entonces
∑ ψ(t) = p − 1
t|(p−1)
Por el teorema (5.2), ∑t|(p−1) ϕ(t) = p − 1, entonces
∑ (ϕ(t) − ψ(t)) = 0
t|(p−1)
Pero, para cualquier entero t, no hay elementos de orden t o hay exactamente ϕ(t) elementos
de orden t; entonces ϕ(t) − ψ(t) ≥ 0 para todo t. Como los sumandos son ≥ 0 y la suma da