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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

78 RAÍCES PRIMITIVAS Y

78 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO DISCRETO Para establecer la existencia de las raíces primitivas en cualquier Zp, p primo; necesitamos algunos resultados. El teorema que sigue establece que ∑ ϕ(d) = n. Para la demostración, se usa un conjunto d|n d>0 Sd = { 1 d , 2 d ,..., d d } y otros conjuntos de fracciones irreducibles (disjuntos): � i Td = d ∈ S � d tal que mcd(i,d) = 1 . La idea es contar la cantidad de primos relativos como el número de fracciones irreducibles. El siguiente ejemplo muestra la idea de la prueba. EJEMPLO 5.2 Sea n = 4. Los divisores positivos de 4 son 1,2,4. Entonces, � � 1 2 3 4 S4 = , , , 4 4 4 4 � � 1 3 T4 = , 4 4 � � 1 T2 = 2 � � 1 T1 = 1 =⇒ |S4| = 4 =⇒ |T4| = ϕ(4) = 2 =⇒ |T2| = ϕ(2) = 1 =⇒ |T1| = ϕ(1) = 1 � Observemos que Ti Tj = ∅ y que |S4| = |T4| + |T2| + |T1|, es decir, Teorema 5.2 Sea n un entero positivo, entonces 4 = ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(4) ∑ ϕ(d) = n d|n d>0 Prueba: Sea Sn = { 1 n , 2 n ,..., n n } y sea Tn = { i n ∈ Sn tal que mcd(i,n) = 1}. Claramente |Sn| = n y |Tn| = ϕ(n). Ahora, si d|n, d > 0; T d = { i d ∈ S d tal que mcd(i,d) = 1}, entonces Sn = � Td = T1 ∪ . . . ∪ Tn d|n d>0

En efecto, “⊆”: i n ∈ Sn tenemos dos casos. Si mcd(i,n) = 1, i n ∈ Tn. Si i n no está en forma reducida, entonces, usando la factorización prima de i y de n, simplificamos y nos queda i n = k h con mcd(k, h) = 1 y 1 ≤ k ≤ h. Como h|n, entonces k h ∈ T h y por tanto está en la unión de los “T d’s”. “⊇”: Ahora si s ∈ � d|n Td, entonces s ∈ Th para algún h|n. Por tanto, s = d>0 j h y 1 ≤ j ≤ h. Si n = k ′ h, se tiene jk ′ ≤ n, así s = j h = k′ j k ′ h ∈ Sn. 79 con mcd(j, h) = 1 Si d y d ′ son divisores distintos de n, Td ∩ Td ′ = ∅. Esto es así pues si s está en esta la intersección, s = j i d = d ′ =⇒ id = jd ′ y entonces, como mcd(j,d) = mcd(i,d ′ ) = 1, d|d ′ y d ′ |d. Esto contradice que d �= d ′ . Finalmente, |Sn| = ∑ d|n |Td|, entonces, como |Td| = ϕ(d), n = ∑ ϕ(d). d>0 d|n d>0 El teorema (5.2) nos da una fórmula recursiva para calcular ϕ(n). No es un fórmula adecuada para cálculos porque requiere todos los divisores (primos y compuestos) de n EJEMPLO 5.3 Como ϕ(1) = 1, ϕ(3) = 2 y ϕ(5) = 4, entonces ϕ(1) + ϕ(3) + ϕ(5) + ϕ(15) = 15 =⇒ ϕ(15) = 8. Teorema 5.3 Sea p primo y t un entero positivo. Si t ∤ (p − 1) entonces Zp no tiene elementos de orden t. Si t|(p − 1), hay exactamente ϕ(t) elementos de orden t en Zp Prueba: De acuerdo al teorema “pequeño” de Fermat, para cada a ∈ Zp, a �= 0, a p−1 ≡ 1 (mod p). Luego, si a es de orden t, t|(p − 1), o lo que es lo mismo, si t ∤ (p − 1) no hay elementos de orden t. Para probar la segunda parte, definimos una nueva función ψ(t) : Para cada entero positivo s que divide a p − 1, sea ψ(s) el número de elementos de orden s en Zp. Ahora, como cada elemento en Z ∗ p tiene algún orden s que divide a p − 1, entonces ∑ ψ(t) = p − 1 t|(p−1) Por el teorema (5.2), ∑t|(p−1) ϕ(t) = p − 1, entonces ∑ (ϕ(t) − ψ(t)) = 0 t|(p−1) Pero, para cualquier entero t, no hay elementos de orden t o hay exactamente ϕ(t) elementos de orden t; entonces ϕ(t) − ψ(t) ≥ 0 para todo t. Como los sumandos son ≥ 0 y la suma da

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