Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

156 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN.
Teorema 9.1 Si n ∈ Z + admite la factorización n = ab, con a,b ∈ Z + entonces a ≤ √ n o b ≤ √ n.
Prueba: Procedemos por contradicción, si a > √ n y b > √ n entonces ab > √ n √ n = n lo cual,
por hipótesis, no es cierto.
Del teorema anterior se puede deducir que
• Si n no tiene factores d con 1 < d ≤ √ n, entonces n es primo.
• Al menos uno de los factores de n es menor que √ n (no necesariamente todos). Por ejemplo
14 = 2 · 7 solo tiene un factor menor que √ 14 ≈ 3.74166).
De acuerdo al teorema fundamental de la aritmética, Cualquier número natural > 1 factoriza, de
manera única (excepto por el orden) como producto de primos. Esto nos dice que la estrategia
óptima de factorización sería probar con los primos menores que √ n. El problema es que si n
es muy grande el primer problema sería que el cálculo de los primos de prueba duraría siglos
(sin considerar los problemas de almacenar estos números).
Recientemente (2005) se factorizó un número de 200 cifras 9 (RSA-200). Se tardó cerca de 18 meses
en completar la factorización con un esfuerzo computacional equivalente a 53 años de trabajo de
un CPU 2.2 GHz Opteron.
9.4.2 Algoritmo.
Identificar si un número es primo es generalmente fácil, pero factorizar un número (grande)
arbitrario no es sencillo. El método de factorización de un número N probando con divisores
primos (“trial division”) consiste en probar dividir N con primos pequeños. Para esto se debe
previamente almacenar una tabla suficientemente grande de números primos o generar la tabla
cada vez. Como ya vimos en la criba de Eratóstenes, esta manera de proceder trae consigo problemas
de tiempo y de memoria. En realidad es más ventajoso proceder de otra manera.
Para hacer la pruebas de divisibilidad usamos los enteros 2, 3 y la sucesión 6k ± 1, k =
1,2,....
Esta elección cubre todos los primos e incluye divisiones por algunos números compuestos
(25,35,...) pero la implementación es sencilla y el programa suficientemente rápido (para
números no muy grandes) que vale la pena permitirse estas divisiones inútiles.
9 Se trata del caso más complicado, un número que factoriza como producto de dos primos (casi) del mismo tamaño.