Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

188 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS
Así, d1d2|m ∧ d1d2|ab y entonces d1d2|d. Usando el ejercicio anterior se concluye que d1d2 = d.
�
ax + by
2.11 Por Bezout, existen x,y,s,t ∈ Z tal que
as + ct
xct + sby) + bc(yt) = 1, es decir, mcd(a,bc) = 1.
=
=
1
1
2.13 Por Bezout ax + by = d =⇒ k1x + k2y = 1, por (2.1, 4) mcd(k1,k2) = 1
, Multiplicando obtenemos a(axs +
2.14 ra + sb = d =⇒ rk1d + sk2d = d =⇒ rk1 + sk2 = 1 =⇒ mcd(r,s) = 1 por (2.1, 4).
2.15 Sea d = mcd(a,b), a y b son múltiplos de d, entonces am + bn = h =⇒ k1dm + k2dn =
h =⇒ d|h.
2.16 “⇒”: es el ejercicio anterior.
“⇐”: Sea d = mcd(a,b) y sea h = kd. Usando el algoritmo extendido de Euclides podemos
calcular x1,y1 ∈ Z tal que ax1 + by1 = d =⇒ ax1k + by1k = kd = h. Luego, la solución de la
ecuación diofántica es x = x1k y y = y1k.
2.17 Por el algoritmo extendido de Euclides, 1 = 365 · −699 + 1876 · 136 luego 24 = 365 · −16776 +
1876 · 3264
2.18 Sea � k 2 − kp = d ∈ N. Luego k 2 − kp − d 2 = 0 de donde
k = p ± � p 2 + 4 · 1 · d 2
2
(∗)
k es entero, así que � p 2 + 4d 2 debe ser cuadrado perfecto, sea p 2 + 4d 2 = a 2 , entonces
p = (a − 2d)(a + 2d)
como p es primo, solo tenemos las dos posibilidades siguientes,
1. p = (a − 2d) y p = (a + 2d)
2. p 2 = a + 2d y a − 2d = 1 pues a + 2d ≥ a − 2d.
En el primer caso d = 0 (y a = p). Entonces k = 0 o k = p
En el segundo caso, resolvemos el sistema y obtenemos d = (p 2 − 1)/2 (y a = (p 2 + 1)/2). Como
a,d son naturales, este caso se cumple si p es impar, es decir p �= 2. Sustituyendo d en (∗) y
resolviendo queda k = (p + 1)/2 y k = −(p − 1)/2.
Note que si p = 2 solo puede suceder el primer caso y queda k = 0 o k = 2.
2.19 Para n = 2 es cierto, por el lema de Euclides.
Si es cierto para n = k y p i|(q1q2 · · · q k) · q k+1, por el lema de Euclides, p i|(q1q2 · · · q k) o p i|q k+1.
Aplicando la hipótesis de inducción en el primer caso p i|q j para algún j ∈ {1,2,...,k}, sino
p i|q k+1.
2.24 Sean a = ∏i p α i
i , m = ∏j q β j
j y n = ∏s r δs
s la descomposición prima de estos números. Luego,
como mn y a k son iguales, su descomposición prima es la misma excepto por el orden de los
factores, i.e.
∏j q βj j ∏s r δs
s = ∏i p k·αi i