Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

⎧
⎨ u ≡ 49 (mod) 99
Ejemplo 9.6 Consideremos
⎩
u
u
≡
≡
−21 (mod) 97
−30 (mod) 95
Aquí m = 912285. Si a = 0 tenemos u = 639985.
EJERCICIOS 173
La unicidad es “módulo m,” es decir, el problema chino del resto tiene infinitas soluciones en Z
pero tiene solución única en Zm, con m =
k
∏
i=0
m i.
Para ver la idea de la prueba, vamos a introducir una notación que nos va a servir más adelante.
Consideremos el Homomorfismo modular φm : Z[x] −→ Zm[x] (m ≥ 2), definido por
ϕm(x) = x
ϕm(a) = rem(a,m) para todo a ∈ Z.
De acuerdo a la definición, ϕm(A(x)) solo cambia los coeficientes a i por los nuevos coeficientes
a i mod m. Por ejemplo, ϕ5(3x 6 − x 4 + 6x 3 + x 2 − 3x) = 3x 6 + 4x 4 + x 3 + x 2 + 2x.
Si u ∈ Zm entonces (ϕm0 (u), ϕm (u),...ϕmn 1 (u)) es uno de los m = ∏n i=0 mi posibles en Zm0 × Zm × ... × Zmn 1 . Si calculamos (ϕm0 (u), ϕm (u),...ϕmn 1
en algún momento encontraríamos un u ∈ Zm tal que
(ϕm0 (u), ϕm (u),...ϕmn (u)) = (u0,u1,...,un).
1
distintos n + 1−tuples
(u)) para cada u ∈ Zm,
Así, la unicidad de u debe entenderse en el sentido de que u es único en Zm no en Z, es decir
u es único módulo m.
La idea de la prueba del teorema chino del resto nos dice cómo encontrar u. Lamentablemente
no es práctico buscar u de esta manera pues m puede ser muy grande.
9.8.1 Algoritmo e implementación.
El algoritmo usual para resolver este tipo de problemas se llama “algoritmo de Garner” (por
H.L. Garner). La idea central del método de Garner es, a la manera del polinomio interpolante
de Newton, representar u como una combinación lineal de “base mixta”,
u = v0 + v1 (m0) + v2 (m0 m1) + ... + vn
� �
n−1
∏ mi i=0
(9.2)