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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

172 NÚMEROS PRIMOS Y

172 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN. } public static void main(String[] args) { System.out.println("\n\n"); BigInteger N = new BigInteger("6658378974"); Miller_Rabin obj = new Miller_Rabin(); } EJERCICIOS System.out.println(N+" es primo = "+obj.esPrimoMR(N)+"\n\n"); System.out.println("\n\n"); 9.5 Esta implementación falla para n = 2,3,5,7,11,13,17,19. ¿Porqué? 9.6 Mejore la implementación anterior. 9.8 Algoritmo Chino del Resto. El problema clásico conocido como problema chino del resto puede ser establecido como sigue: Dados los módulos m0,m1,...,mk ∈ Z y los residuos correspondientes ui ∈ Zmi encontrar un entero u tal que con i = 0,2...,k; u ≡ u i (mod m i), 0 ≤ i ≤ k. (9.1) Las condiciones bajo las cuales se puede garantizar la existencia de una solución única para este problema se establecen en el siguiente teorema, Teorema 9.5 (Chino del Resto) Sean m0,m1,...,m k ∈ Z primos relativos dos a dos, i.e. mcd(m i, m j) = 1 si i �= j, y consideremos los k residuos u i ∈ Zm i ,0 ≤ i ≤ k. Para cada entero fijo a existe un único entero u ∈ Z que satisface las condiciones ⎧ ⎪⎨ a ≤ u < a + m con m = ⎪⎩ u ≡ ui (mod mi), 0 ≤ i ≤ k k ∏ i=0 m i;

⎧ ⎨ u ≡ 49 (mod) 99 Ejemplo 9.6 Consideremos ⎩ u u ≡ ≡ −21 (mod) 97 −30 (mod) 95 Aquí m = 912285. Si a = 0 tenemos u = 639985. EJERCICIOS 173 La unicidad es “módulo m,” es decir, el problema chino del resto tiene infinitas soluciones en Z pero tiene solución única en Zm, con m = k ∏ i=0 m i. Para ver la idea de la prueba, vamos a introducir una notación que nos va a servir más adelante. Consideremos el Homomorfismo modular φm : Z[x] −→ Zm[x] (m ≥ 2), definido por ϕm(x) = x ϕm(a) = rem(a,m) para todo a ∈ Z. De acuerdo a la definición, ϕm(A(x)) solo cambia los coeficientes a i por los nuevos coeficientes a i mod m. Por ejemplo, ϕ5(3x 6 − x 4 + 6x 3 + x 2 − 3x) = 3x 6 + 4x 4 + x 3 + x 2 + 2x. Si u ∈ Zm entonces (ϕm0 (u), ϕm (u),...ϕmn 1 (u)) es uno de los m = ∏n i=0 mi posibles en Zm0 × Zm × ... × Zmn 1 . Si calculamos (ϕm0 (u), ϕm (u),...ϕmn 1 en algún momento encontraríamos un u ∈ Zm tal que (ϕm0 (u), ϕm (u),...ϕmn (u)) = (u0,u1,...,un). 1 distintos n + 1−tuples (u)) para cada u ∈ Zm, Así, la unicidad de u debe entenderse en el sentido de que u es único en Zm no en Z, es decir u es único módulo m. La idea de la prueba del teorema chino del resto nos dice cómo encontrar u. Lamentablemente no es práctico buscar u de esta manera pues m puede ser muy grande. 9.8.1 Algoritmo e implementación. El algoritmo usual para resolver este tipo de problemas se llama “algoritmo de Garner” (por H.L. Garner). La idea central del método de Garner es, a la manera del polinomio interpolante de Newton, representar u como una combinación lineal de “base mixta”, u = v0 + v1 (m0) + v2 (m0 m1) + ... + vn � � n−1 ∏ mi i=0 (9.2)

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