Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

114 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS
EJEMPLO 7.7
Muestre que
� �
x
1
= 1 + O .
x + 1 x
Solución: |x/(x + 1) − 1| = 1/(x + 1) < 1/x si x > 0. Así, tomando C = 1 y x0 = 0, el
término de error es O(1/x).
EJEMPLO 7.8
Sean n, d enteros positivos, Muestre que �n/d� = n/d + O(1).
Solución: Por el algoritmo de la división, existe k, r ∈ Z tal que n = k · d + r con 0 ≤ r < d
o también n/d = k + r/d. Luego,�n/d� = k = (n − r)/d. Ahora, |�n/d� − n/d| = r/d < 1
para cada n ≥ 0. Así, tenemos �n/d� = n/d + O(1), tomando C = 1.
o pequeña
La definición de O grande requiere la existencia de una constante C tal que f ≤ Cg. La definición
de la o pequeña es similar, solo que esta vez pedimos que 0 ≤ f ≤ Cg para toda C > 0. En
lo que sigue, solo hacemos referencia un par de veces a este concepto, así que solo vamos a dar
la definición.
Definición 7.3 Sea f , g funciones. Decimos que f = o(g) si para toda c ∈ R + , existe xc tal que
0 ≤ f (x) ≤ c · g(x) si x > xc.
7.4 Teorema de los números primos
Ya sabemos que los primos son infinitos. De aquí en adelante hay una pregunta muy natural:
¿cuántos primos hay entre 2 y x?. Por ejemplo, 2,3,5,7 son los primos inferiores a x = 10, así
que hay 4 primos entre 2 y 10.
La función que se usa para contar los primos por debajo de x se denota con π(x) : Por ejemplo,
π(2) = 1, π(10) = 4 y π( √ 1000) = 11.
Para la función π(x) no hay una fórmula sencilla. Algunas fórmulas actuales son variaciones
un poco más eficientes que la fórmula recursiva de Legendre (1808).
Fórmula de Legendre.
Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F.
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