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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

44 CONGRUENCIAS En

44 CONGRUENCIAS En la actualidad hay varios métodos para cons-truir cuadrados mágicos. En 1693 De la Loubère dio un método para construir cuadrados mágicos para cualquier n impar, el método es llamado el “Método Siamés”. En 1929 D.N. Lehmer investigó, por medio de congruencias, una generali-zación de este método. El resultado es una manera sencilla de colocar los números 0,1,...,n 2 − 1 en un arreglo n × n de tal manera que sea un cuadrado mágico. Este método, llamado método del “paso uniforme”, calcula la entrada (i, j), usando congruencias, en la que se debe colocar cada uno de los números k = 0,1,...,n 2 − 1 para que el arreglo resulte “mágico”. Definición 3.2 Supongamos que n 2 enteros diferentes son colocados en un arreglo n × n. Si la suma de las entradas de cada fila suma siempre lo mismo, decimos que el cuadrado es “mágico por filas”. Si la suma de las entradas de cada columna suma siempre lo mismo, decimos que el cuadrado es “mágico por columnas”. Si el cuadrado es ambos “mágico por filas” y “mágico por columnas”, se dice “cuadrado mágico” y la suma se dice “suma mágica”. Teorema 3.3 Sea n entero positivo impar y a,b,c,d,e, f enteros, tal que mcd(c f − de,n) = 1 Sea A = (a ij) la matriz n × n definida así: Para cada k = 0,1,...,n 2 − 1, a i+1,j+1 = k si i ≡ a + c · k + e · �k/n� (mod n) y j ≡ b + d · k + f · �k/n� (mod n) Entonces, Si mcd(c,n) = mcd(e,n) = 1, el cuadrado es ”mágico por columnas”. Si mcd(d,n) = mcd( f ,n) = 1, el cuadrado es ”mágico por filas”. Si mcd(c,n) = mcd(d,n) = mcd(e,n) = mcd( f ,n) = 1, el cuadrado es mágico. En cada caso la suma mágica es n(n 2 − l)/2. EJEMPLO 3.9 Sea n = 7 y a = 4, b = 3, c = 1, d = −2, e = 1, f = −4. Como mcd(c,n) = mcd(d,n) = mcd(e,n) = mcd( f ,n) = 1, el método construye un cuadrado mágico 7 × 7 con suma mágica 168. k = 0 : i ≡ 4 + 1 · 0 + 1 · �0/7� (mod 7) y j ≡ 3 − 2 · 0 − 4 · �0/7� (mod 7) ⇒ a 5,4 = 0 k = 1 : i ≡ 4 + 1 · 1 + 1 · �1/7� (mod 7) y j ≡ 3 − 2 · 1 − 4 · �1/7� (mod 7) ⇒ a 6,2 = 1 k = 2 : i ≡ 4 + 1 · 2 + 1 · �2/7� (mod 7) y j ≡ 3 − 2 · 2 − 4 · �2/7� (mod 7) ⇒ a 7,7 = 2 · · ·

⎡ ⎢ ⎣ 15 40 9 34 3 21 46 10 28 4 22 47 16 41 5 23 48 17 35 11 29 42 18 36 12 30 6 24 37 13 31 0 25 43 19 32 1 26 44 20 38 7 27 45 14 39 8 33 2 La implementación, usando MATHEMATICA, es muy sencilla, a = 4; b = 3; c = 1; d = -2; e = 1; f = -4; n = 7; (*Verificar si son primos relativos?*) {GCD[c*f - d*e, n], GCD[c, n], GCD[d, n], GCD[e, n], GCD[f, n]} B = Array[A, {n, n}]; (*A[i,j]=k*) Do[A[Mod[a + c*k + e*Floor[k/n], n] + 1, Mod[b + d*k + f*IntegerPart[k/n], n] + 1] = k, {k, 0, n^2 - 1}] MatrixForm[B] 3.5 Clases residuales módulo m La relación “congruente módulo m”, denotada por brevedad con “≡m”, se define así: a ≡ b (mod m) ⇐⇒ m|(b − a) La relación “≡m ” es una relación de equivalencia, es decir, particiona Z en clases (de equivalencia.) El conjunto cociente “Z/ ≡m ”, es el conjunto de clases de equivalencia. Si a ∈ Z y a = mk + r con 0 ≤ r < m, entonces a ≡ r (mod m). Entonces es natural tomar como representante de clase los residuos positivos más pequeños, es decir a = a mod m (recordemos que “ a mod m” denota el más pequeño residuo positivo de dividir a por m). EJEMPLO 3.10 a = mk + b ⇐⇒ a = b = a mod m 12 ≡ −2 (mod 7) ⇐⇒ ∃ k ∈ Z tal que 12 = 7k − 2 ⇐⇒ 12 = −2 = 12 mod 7 = 5 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) ⎤ ⎥ ⎦ 45

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